LIBRO X
Prop.39: Se si sommano due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale ma il rettangolo contenuto da esse mediale, allora quella totale è irrazionale; sia chiamata maggiore
Dimostrazione
Siano composte due rette incommensurabili in potenza AB e BC che soddisfano le condizioni date (Prop.10-33): dico che AC è irrazionale.
Poiché il rettangolo AB per BC è mediale (Prop.10-6), allora anche il doppio del rettangolo AB per BC è mediale (Prop.10-23).
Ma la somma dei quadrati su AB e BC è razionale, pertanto il doppio del rettangolo AB per BC è incommensurabile con la somma dei quadrati su AB e BC, così che la somma dei quadrati su AB e BC insieme con il doppio del rettangolo AB per BC, cioè il quadrato su AC, è pure incommensurabile con la somma dei quadrati su AB e BC. Il quadrato su AC è quindi irrazionale, così che anche AC è irrazionale. Sia chiamata maggiore.
La costruzione con GeoGebra:
- strumento Segmento: disegna i segmenti AB e BC adiacenti
La maggiore è una retta irrazionale ottenibile dalla somma di due incommensurabili in potenza, formanti area mediale e sommabili secondo il teorema di Pitagora.