LIBRO X
Prop.47: Il lato della somma di due aree mediali si divide in un punto soltanto
Dimostrazione
Sia AB divisa in C, così che AC e CB siano incommensurabili in potenza e sia la somma dei quadrati su AC e CB mediale, e il rettangolo AC per CB mediale e anche incommensurabile con la somma dei quadrati su di esse: dico che AB che soddisfa alle condizioni date non è divisa in un altro punto.
Se possibile, risulti diviso anche in D, così che AC non è naturalmente la stessa di BD, ma sia supposta maggiore.
Sia fissata una retta razionale EF, e si applichi a EF il rettangolo EG uguale alla somma dei quadrati su AC e CB, e il rettangolo HK uguale al doppio del rettangolo AC per CB. Allora EK totale è uguale al quadrato su AB (Prop.2-4). Di nuovo, ad EP si applichi EL, uguale alla somma dei quadrati su AD e DB. Allora la restante, doppio del rettangolo AD per DB, è uguale alla restante MK.
E poiché, è stato supposto che la somma dei quadrati su AC e CB è mediale, allora anche EG è mediale. Ed è stato applicato alla retta razionale EF, pertanto HE è razionale e incommensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-22).
Per gli stessi motivi anche HN è razionale e incommensurabile in lunghezza con EF. E poiché la somma dei quadrati su AC e CB è incommensurabile con il doppio del rettangolo AC per CB, allora anche EG è incommensurabile con GN, così che anche EH è incommensurabile con HN (Prop.10-11).
Ed esse sono razionali, EH e HN sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza. EN è quindi una retta binomiale divisa in H (Prop.10-36). Analogamente si può dimostrare che è anche divisa in M. Ma EH non è la stessa di MN, pertanto una binomiale è stata divisa in punti diversi, il che è assurdo (Prop.10-42). Un lato della somma di due aree mediali non è quindi diviso in punti diversi. Risulta pertanto diviso in un punto soltanto.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Punto: disegna i punti C e D su AB
- Segmento: disegna i segmenti AC e CB e EF
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a EF per E
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare il segmento EN = ABxAB/EF
- Parallela: completa il rettangolo EK
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare EN il segmento EH = (ACxAC+CBxCB)/EF
- Parallela: disegna il punto G
- Segmento: disegna i segmenti AD e DB
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare EN il segmento EM = (ADxAD+DCxDC)/EF
- Parallela: disegna il punto L
- Poligono: disegna il rettangolo GHML