LIBRO X
Prop.42: Una retta binomiale si divide nei suoi termini secondo un punto soltanto
Dimostrazione
Una binomiale AB risulti divisa nei suoi termini in C. Allora AC e CB sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza: dico che AB non si divide in un altro punto in due rette razionali commensurabili solo in potenza.
Se infatti possibile, sia divisa anche in D, così che anche AD e DB siano rette razionali commensurabili soltanto in potenza. Allora è manifesto che AC non è la stessa di DB.
Se possibile, lo sia. Allora anche AB la stessa di CB, e AC sta a CB come BD sta a DA. Pertanto AB è diviso anche in D secondo lo stesso punto con la divisione in C, il che è contratrio a quanto supposto. AC non è quindi la stessa di DB.
Proprio per questo anche i punti C e D non sono equidistanti dal punto di bisezione. Ciò per cui la somma dei quadrati su AC e CB differisce dalla somma dei quadrati su AD e anche DB è quello per cui il doppio del rettangolo AD per DB differisce dal doppio del rettangolo AC per CB, poiché entrambi i quadrati su AC e CB insieme con il doppio del rettangolo AC per CB, e i quadrati su AD e DB insieme con il doppio del rettangolo AD per DB, uguale al quadrato su AB (Prop.2-4).
Ma la somma dei quadrati su AC e CB differisce dalla somma dei quadrati su AD e DB per un'area razionale, entrambe sono infatti razionali, pertanto anche il doppio del rettangolo AD per DB differisce dal doppio del rettangolo AC per CB per un'area razionale, sono entrambe mediali (Prop.10-21), il che è assurdo, un'area mediale non eccede infatti una mediale per un'area razionale (Prop.10-26).
Una retta binomiale non è quindi divisa in punti diversi. Essa è quindi divisa in un solo punto.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Punto: disegna i punti C e D su AB
Questa proposizione, come tutte quelle che seguono fino alla Prop.10-47, intendono dimostrare che le rette irrazionali che si ottengono per somma e differenza in tutti i casi sono generate in un unico modo.