LIBRO X
Prop.43: Una retta prima bimediale si divide secondo un punto soltanto
Dimostrazione
Una bimediale prima AB risulti divisa in C, così che AC e CB siano rette mediali commensurabili soltanto in potenza e comprendenti un rettangolo razionale (Prop.10-37): dico che AB non si divide in un altro punto.
Se infatti possibile, sia divisa anche in D, così che anche AD e DB siano rette mediali commensurabili soltanto in potenza che comprendono un rettangolo razionale. Allora è manifesto che AC non è lo stessa di DB.
Poiché, allora, ciò per cui il doppio del rettangolo AD per DB differisce dal doppio del rettangolo AC per CB, per questo anche la somma dei quadrati su AC e CB differisce dalla somma dei quadrati su AD e DB, mentre il doppio del rettangolo AD per DB differisce dal doppio del rettangolo AC per CB per un'area razionale, sono entrambe infatti razionali, allora anche la somma dei quadrati su AC e CB differisce dalla somma dei quadrati su AD e DB per un'area razionale, pur essendo aree mediali (Prop.10-26), il che è assurdo.
Una retta prima bimediale non è quindi divisa nei suoi termini in diversi punti. Essa è quindi divisa in un solo punto.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Punto: disegna i punti C e D su AB