LIBRO X
Prop.44: Una retta seconda bimediale si divide secondo un punto soltanto
Dimostrazione
Una bimediale seconda AB risulti divisa in C, così che AC e CB siano rette mediali commensurabili soltanto in potenza e comprendenti un rettangolo razionale (Prop.10-38). È pertanto manifesto che C non è nel punto di bisezione, poiché i segmenti non sono commensurabili in lunghezza: dico che AB non si divide in un altro punto.
Se possibile, risulti divisa anche in D, così che AC non è la stessa di DB, ma con AC supposto maggiore. È pertanto chiaro che anche la somma dei quadrati su AD e DB è, come dimostrato sopra, minore della somma dei quadrati su AC e CB. Supponiamo che AD e DB siano rette mediali commensurabili soltanto in potenza e contenenti un rettangolo mediale.
Si fissi una retta razionale EF e si applichi a EF il parallelogrammo rettangolare EK uguale al quadrato su AB, e si sottragga EG, uguale alla somma dei quadrati su AC e CB. Allora HK restante è uguale al doppio del rettangolo AC per CB (Prop.2-4).
Di nuovo, si sottragga EL, uguale alla somma dei quadrati su AD e DB, che sono stati dimostrati minori della somma dei quadrati su AC e CB. Allora anche MK restante è uguale al doppio del rettangolo AD per DB. E poiché i quadrati su AC e CB sono mediali, allora EG è mediale. ED è applicato alla retta razionale EF, pertanto EH è razionale e incommensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-22).
Per gli stessi motivi anche HN è razionale e incommensurabile in lunghezza con EF. E poiché AC e CB sono rette mediali commensurabili soltanto in potenza, allora AC è incommensurabile in lunghezza con CB. Ma AC sta a CB come il quadrato su AC sta al rettangolo AC per CB, pertanto il quadrato su AC è incommensurabile con il rettangolo AC per CB (Prop.10-11).
Ma la somma dei quadrati su AC e CB è commensurabile con il quadrato su AC, AC e CB sono infatti commensurabili in potenza (Prop.10-15). E il doppio del rettangolo AC per CB è commensurabile con il rettangolo AC per CB (Prop.10-6). Pertanto anche la somma dei quadrati su AC e CB è incommensurabile con il doppio del rettangolo AC per CB (Prop.10-13).
Ma EG è uguale alla somma dei quadrati su AC e CB, e HK è uguale al rettangolo AC per CB, pertanto EG è incommensurabile con HK, così che anche EH è incommensurabile in lunghezza con HN (Prop.10-11). Ed essi sono razionali, EH e HN sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza.
Ma se due rette razionali commensurabili soltanto in potenza sono composte, allora la totale è l'irrazionale che è chiamata binomiale (Def.10-36). EN è quindi una retta binomiale divisa in H. Allo stesso modo anche EM e MN saranno dimostrate essere rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e EN è una retta binomiale divisa in punti diversi, H e M.
Ma EH non è la stessa di MN, la somma dei quadrati su AC e CB è infatti maggiore della somma dei quadrati su AD e DB. Ma la somma dei quadrati su AD e DB è maggiore del doppio del rettangolo AD per DB, pertanto la somma dei quadrati su AC e CB, cioè EG, è molto maggiore del doppio del rettangolo AD per DB, cioè MK, così che anche EH è maggiore di MN. EH non è quindi la stessa di MN.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Punto: disegna i punti C e D su AB
- Segmento: disegna i segmenti AC e CB e EF
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a EF per E
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare il segmento EN = ABxAB/EF
- Parallela: completa il rettangolo EK
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare EN il segmento EH = (ACxAC+CBxCB)/EF
- Parallela: disegna il punto G
- Segmento: disegna i segmenti AD e DB
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare EN il segmento EM = (ADxAD+DCxDC)/EF
- Parallela: disegna il punto L
- Poligono: disegna il rettangolo GHML