LIBRO X
Prop.45: Una retta maggiore si divide secondo lo stesso punto soltanto
Dimostrazione
Una retta maggiore AB risulti divisa in C, così che AC e CB siano rette incommensurabili in potenza e tali che la somma dei quadrati su AC e CB sia razionale, ma con il rettangolo AC per CB mediale: dico che AB non si divide in un altro punto.
Se possibile, risulti diviso anche in D, così che AD e DB siano incommensurabili in potenza e la somma dei quadrati su AD e DB sia razionale, ma con il rettangolo da esse contenuto mediale.
E poiché la somma dei quadrati su AC e CB differisce dalla somma dei quadrati su AD e DB di quanto il doppio del rettangolo AD per DB differisce dal doppio del rettangolo AC per CB, mentre la somma dei quadrati su AC e CB eccede la somma dei quadrati su AD e DB per un'area razionale, sono infatti razionali, allora anche il doppio del rettangolo AD per DB eccede il doppio del rettangolo AC per CB per un'area razionale, pur essendo mediali, il che è impossibile (Prop.10-26).
Pertanto una retta maggiore non si divide secondo punti diversi: si divide quindi solo secondo lo stesso punto.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Punto: disegna i punti C e D su AB