LIBRO X
Prop.26: Un'area mediale non eccede un'area mediale per un'area razionale
Dimostrazione
Se possibile, superi l'area mediale AB l'area mediale AC per l'area razionale DB.
Si fissi una retta razionale EF. Si applichi a EF il parallelogrammo rettangolare FH uguale ad AB che produce EH come larghezza. Si sottragga il rettangolo FG uguale ad AC. Allora la restante BD è uguale alla restante KH. Ma DB è razionale, anche KH è quindi razionale.
Poiché ognuno dei rettangoli AB e AC è mediale, e AB è uguale a FH mentre AC è uguale a FG, allora anche ognuno dei rettangoli FH e FG è mediale. Essi sono applicati alla retta razionale EF, pertanto ognuna delle rette HE e EG è razionale e incommensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-22).
Poiché DB è razionale e uguale a KH, allora KH è razionale. Ed è applicato alla retta razionale EF, pertanto GH è razionale e commensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-20). Ma anche EG è razionale, ed è incommensurabile in lunghezza con EF, pertanto EG è incommensurabile in lunghezza con GH (Prop.10-13).
Ma EG sta a GH come il quadrato su EG sta al rettangolo EG per GH, pertanto il quadrato su EG è incommensurabile con il rettangolo EG per GH (Prop.10-11). Ma i quadrati su EG e GH sono commensurabili con il quadrato su EG, sono infatti entrambi razionali, e il doppio del rettangolo EG per GH è commensurabile con il rettangolo EG per GH, è infatti il suo doppio (Prop.10-6), pertanto la somma dei quadrati su EG e GH è incommensurabile con il doppio del rettangolo EG per GH (Prop.10-13).
La somma dei quadrati su EG e GH più il doppio del rettangolo EG per GH, che è il quadrato su EH, è quindi incommensurabile con la somma dei quadrati su EG e GH (Prop.10-16). Ma i quadrati su EG e GH sono razionali, pertanto il quadrato su EH è irrazionale (Def.10-4). EH è quindi irrazionale. Ma è anche razionale, il che è impossibile.
Un'area mediale non eccede quindi un'area mediale per un'area razionale.
La costruzione con GeoGebra:
- strumento Perpendicolare e Poligono: disegna il rettangolo AB
- strumento Segmento: disegna il segmento EF
- strumento Perpendicolare: disegna le perpendicolari a EF in E e F
- strumento Circonferenza di dato raggio: disegna la larghezza EG = ABxAB/FE
- strumento Poligono: completa il rettangolo FH
- strumento Punto: segna il punto C sul lato BC del rettangolo AB
- strumento Poligono: completa il rettangolo BD
- strumento Circonferenza di dato raggio: disegna su EH il segmento EG = ADxCD/FE
- strumento Poligono: completa il rettangolo KH
Questa proposizione è spesso usata nel Libro X.