LIBRO X
Prop.27: Trovare mediali commensurabili in potenza che contengano solo un rettangolo razionale
Dimostrazione
Siano fissate due rette razionali A e B commensurabili solo in potenza (Prop.10-10). Si prenda una media proporzionale C tra A e B (Prop.6-13) e risulti essere che A sta a B come C sta a D (Prop.6-12).
E poiché A e B sono razionali e commensurabili solo in potenza, allora il rettangolo A per B, cioè il quadrato su C (Prop.6-17), è mediale. C è quindi mediale (Prop.10-21).
E poiché A sta a B come C sta a D, e A e B sono commensurabili solo in potenza, allora anche C e D sono commensurabili solo in potenza (Prop.10-11). Ma C è mediale, allora anche D è mediale. Pertanto C e D sono mediali e commensurabili solo in potenza.
Dico che essi contengono un rettangolo razionale.
Poiché A sta a B come C sta a D, allora, alternando, A sta a C come B sta a D (Prop.5-16). Ma A sta a C come C sta a B, pertanto C sta a B come B sta a D. Il rettangolo C per D è quindi uguale al quadrato su B. Ma il quadrato su B è razionale, pertanto anche il rettangolo C per D è razionale.
Risultano quindi trovate mediali commensurabili in potenza che contengono solo un rettangolo razionale.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le quattro rette su cui dispore i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A e B
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento C = sqrt(AxB)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D = BxC/A
In questa proposizione è indicato come costruire due rette mediali commensurabili soltanto in potenza che producono un'area razionale.