LIBRO X
Prop.28: Trovare mediali commensurabili soltanto in potenza che contengono un rettangolo mediale
Dimostrazione
Siano fissate tre rette razionali A, B, C commensurabili solo in potenza (Prop.10-10). Si prenda una media proporzionale D tra A e B (Prop.6-13) e risulti essere che B sta a C come D sta a E (Prop.6-12).
E poiché A e B sono razionali e commensurabili solo in potenza, allora il rettangolo A per B, cioè il quadrato su D (Prop.6-17), è mediale. C è quindi mediale (Prop.10-21).
E poiché B e C sono commensurabili solo in potenza, e B sta a C come D sta a E, allora anche D ed E sono commensurabili solo in potenza (Prop.10-11). Ma D è mediale, allora anche E è mediale. Pertanto D ed E sono mediali e commensurabili solo in potenza.
Dico che essi contengono un rettangolo mediale.
Poiché B sta a C come D sta a E, allora, alternando, B sta a D come C sta a E (Prop.5-16). Ma B sta a D come D sta ad A, pertanto D sta ad A come C sta a E. Il rettangolo A per C è quindi uguale al quadrato su E. Ma il rettangolo A per C è mediale, pertanto anche il rettangolo D per E è mediale.
Risultano quindi trovate mediali commensurabili soltanto in potenza che contengono un rettangolo mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le quattro rette su cui dispore i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D = sqrt(AxB)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento E = CxD/B