LIBRO X

Prop.28: Trovare mediali commensurabili soltanto in potenza che contengono un rettangolo mediale

Dimostrazione

Siano fissate tre rette razionali A, B, C commensurabili solo in potenza (Prop.10-10). Si prenda una media proporzionale D tra A e B (Prop.6-13) e risulti essere che B sta a C come D sta a E (Prop.6-12).

E poiché A e B sono razionali e commensurabili solo in potenza, allora il rettangolo A per B, cioè il quadrato su D (Prop.6-17), è mediale. C è quindi mediale (Prop.10-21).

E poiché B e C sono commensurabili solo in potenza, e B sta a C come D sta a E, allora anche D ed E sono commensurabili solo in potenza (Prop.10-11). Ma D è mediale, allora anche E è mediale. Pertanto D ed E sono mediali e commensurabili solo in potenza.

Dico che essi contengono un rettangolo mediale.

Poiché B sta a C come D sta a E, allora, alternando, B sta a D come C sta a E (Prop.5-16). Ma B sta a D come D sta ad A, pertanto D sta ad A come C sta a E. Il rettangolo A per C è quindi uguale al quadrato su E. Ma il rettangolo A per C è mediale, pertanto anche il rettangolo D per E è mediale.

Risultano quindi trovate mediali commensurabili soltanto in potenza che contengono un rettangolo mediale.

La costruzione con GeoGebra:
  • Retta: disegna le quattro rette su cui dispore i segmenti
  • Segmento: disegna i segmenti A, B, C
  • Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D = sqrt(AxB)
  • Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento E = CxD/B

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello