LIBRO X
Prop.41: Se si sommano due rette incommensurabili in potenza che fanno sia la somma dei quadrati su di esse sia il rettangolo da esse contenuto mediali e incommensurabile con la somma dei quadrati su di esse, allora quella totale è irrazionale; e sia chiamata lato della somma di due aree mediali
Dimostrazione
Siano composte due rette AB, BC incommensurabili in potenza che soddisfano alle condizioni date (Prop.10-35): dico che AC è irrazionale.
Sia fissata una retta razionale DE e si applichi a DE il rettangolo DF uguale alla somma dei quadrati su AB e BC, e si applichi a DE il rettangolo GH uguale al doppio del rettangolo AB per BC. Allora DH totale è uguale al quadrato su AC (Prop.2-4).
E poiché la somma dei quadrati su AB e BC è mediale, e uguale a DF, allora anche DF è mediale. Ed è applicato ad una retta razionale DE; DG è quindi razionale e incommensurabile in lunghezza con DE (Prop.10-22). Per gli stessi motivi anche GK è razionale e incommensurabile in lunghezza con GF, cioè DE.
Poiché la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC, allora DF è incommensurabile con GH, così che anche DG è incommensurabile con GK (Prop.10-11). Ed essi sono razionali; DG e GK sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza. DK è quindi irrazionale, quella chiamata binomiale (Prop.10-36).
Ma DE è razionale, pertanto DH è irrazionale, e il lato del quadrato che è uguale ad essa è irrazionale (Def.10-4). Ma AC è il lato del quadrato uguale ad HD, pertanto AC è irrazionale. Sia chiamata il lato della somma di due aree mediali.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i due segmenti AB, BC adiacenti
- Segmento: disegna il segmento DE
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a DE per il punto D
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare il segmento DG = (ABxAB+BCxBC)/DE
- Perpendicolare e Poligono: completa il rettangolo DF
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare il segmento FH = 2(ABxBC)/DE
- Perpendicolare e Poligono: completa il rettangolo FK
Lemma
E che le dette rette irrazionali si dividano in un solo modo nelle rette di cui sono la somma facendo le forme proposte, lo diomostreremo esponendo prima il seguente lemma.
Si fissi la retta AB e si sechi il totale in parti disuguali secondo ciascuno dei punti C e D, e si supponga AC maggiore di DB: dico che la somma dei quadrati su AC e CB è maggiore della somma dei quadrati su AD e DB.
Si sechi AB a metà in E. Poiché AC è maggiore di DB, si sottragga DC da entrambi, AD restante è quindi maggiore di CB restante. Ma AE è uguale a EB, pertanto DE è minore di EC. I punti C, D non sono quindi equidistanti dal punto di bisezione.
Poiché il rettangolo AC per CB insieme con il quadrato su EC è uguale al quadrato su EB, e, inoltre, il rettangolo AD per DB insieme con il quadrato su DE è uguale al quadrato su EB, pertanto il rettangolo AC per CB insieme con il quadrato su EC è uguale al rettangolo AD per DB insieme con il quadrato su DE (Prop.2-5).
Ma di questi il quadrato su DE è minore del quadrato su EC, pertanto anche il restante, il rettangolo AC per CB, è minore del rettangolo AD per DB così che anche il doppio del rettangolo AC per CB è minore del doppio del rettangolo AD per DB. Il restante, la somma dei quadrati su AC e CB, è quindi maggiore della somma dei quadrati su AD e DB.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Punto: disegna i punti C e D su AB
- Punto Medio: disegna il punto medio, E, del segmento AB
Questa retta irrazionale si può vedere come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente due cateti mediali.