Elementi di Euclide

Lemma 1: Trovare due numeri quadrati tali che la loro somma è ancora un quadrato

Dimostrazione:

Si fissino due numeri AB e BC, e siano entrambi o pari o dispari. E poiché, sia che si sottragga un pari da un numero pari (Prop.9-24), sia un dispari da un dispari, il restante è pari (Prop.9-26), pertanto il restante AC è pari.

Si sechi a metà AC in D. Siano AB e BC o piani simili, o nuemri quadrati, che sono anch'essi piani simili. Il prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CD è uguale al quadrato su BD. E il prodotto di AB e BC è quadrato, poiché appunto è stato proprio dimostrato che, se due numeri piani simili moltiplicati tra loro producono un certo numero, il prodotto è quadrato (Prop.2-6). Due numeri quadrati, il prodotto di AB e BC, e il quadrato su CD, risultano quindi trovati che, composti formano il quadrato su BD (Prop.9-1).

Ed è manifesto che due numeri quadrati, il quadrato su BD e il quadrato su CD, risultano trovati di nuovo tali che la loro differenza, il prodotto di AB e BC, è un quadrato, quando AB e BC sono numeri piani simili. Ma iquando non sono piani simili, risultano trovati due numeri quadrati, il quadrato su BD e il quadrato su DC, tali che la loro differenza, il prodotto di AB e BC, non è un quadrato.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti AB, BC, AC allineati
• Punto Medio: segna il punto medio, D, del segmento AC

Lemma 2: Trovare due numeri quadrati tali che la loro somma non è un quadrato

Dimostrazione:

Sia il prodotto di AB e BC come detto, quadrato, e CA pari. Si bisechi CA in D.

Allora è manifesto che il quadrato prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CD è uguale al quadrato su BD (Lemma 1). Si sottragga l'unità DE. Pertanto il prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE è minore del quadrato su BD.

Dico allora che il prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE non è un quadrato.

Se è quadrato, allora o è uguale al quadrato su BE, o minore del quadrato su BE, ma non può essere maggiore a meno che non sia divisa l'unità. Primo, se possibile, sia il prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE uguale al quadrato su BE, e sia GA doppio dell'unità DE.

Poiché il totale AC è doppio del totale CD, dei quali AG è doppio di DE, anche il restante GC è quindi doppio del restante EC. Pertanto GC è secato a metà in E. Il prodotto di GB e BC insieme con il quadrato su CE è quindi uguale al quadrato su BE (Prop.2-6). Ma anche il prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE, come è stato supposto, è uguale al quadrato su BE, pertanto il prodotto di GB e BC insieme con il quadrato su CE è uguale al prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE.

E se il quadrato comune su CE è sottratto, allora segue che AB è uguale a GB, il che è assurdo. Il prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE non deve quindi essere uguale al quadrato su BE.

Dico ora che neppure è minore del quadrato su BE.

Se infatti possibile, sia uguale al quadrato su BF, e sia HA doppio di DF. Si concluderà di nuovo che HC è doppio di CF, così che CH è secato a metà in F, e per questo motivo il prodotto di HB e BC insieme con il quadrato su FC è uguale al quadrato su BF (Prop.2-6). Ma, è stato supposto, il prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE è pure uguale al quadrato su BF.

Pertanto anche il prodotto di HB e BC insieme con il quadrato su CF è uguale al prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE, il che è assurdo. Il prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE non è quindi minore del quadrato su BE. Ed è stato anche dimostrato che non è nemmeno uguale al quadrato su BE. Il prodotto di AB e BC insieme con il quadrato su CE non è quindi quadrato.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti AB, BC, AC allineati
• Punto Medio: segna il punto medio, D, del segmento AC
• Circonferenza di raggio dato: disegna una circonferenza di raggio unitario a piacere che interseca il segmento AC in E
• Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti DF = DE; GA = 2xDE; HA = 4xDE

Prop.29: Trovare due rette razionali commensurabili in potenza soltanto tali che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con la maggiore

Dimostrazione

Siano fissati una certa razionale AB, e due numeri quadrati CD e DE tali che la loro differenza CE non sia quadrato (Lemma 1).

Si descriva il semicerchio AFB su AB, e sia fatto in modo che DC sta CE come il quadrato su BA sta al quadrato su AF (Prop-10-6-Cor). i congiunga FB.

Poiché il quadrato su BA sta al quadrato su AF come DC sta a CE, allora il quadrato BA ha con il quadrato su AF il rapporto che il numero DC ha con il numero CE. Pertanto il quadrato su BA è commensurabile con il quadrato su AF (Prop.10-6). Ma il quadrato su AB è razionale; anche il quadrato su AF è quindi razionale. Anche AF è quindi razionale (Def.10-4).

E poiché DC non ha con CE il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, neppure il quadrato su BA ha con il quadrato su AF il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto AB è incommensurabile in lunghezza con AF (Prop.10-9). BA e AF sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza.

E poiché DC sta a CE come il quadrato su BA sta al quadrato su AF (Prop.3-31), allora, convertendo (Prop.5-19-Cor), CD sta a DE come il quadrato su AB sta al quadrato su BF (Prop.1-47). Ma CD ha con DE il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto il quadrato su AB ha con il quadrato su BF il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. AB è quindi commensurabile in lunghezza con BF (Prop.10-9).

E il quadrato su AB è uguale alla somma dei quadrati su AF e FB (Prop.1-47), pertanto il quadrato su AB è maggiore del quadrato su AF per il quadrato su BF commensurabile con AB.

Risultano quindi trovate due rette razionali BA e AF commensurabili in potenza soltanto tali che il quadrato sulla maggiore AB è maggiore del quadrato sulla minore AF per il quadrato su BF commensurabile in lunghezza con AB.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti AB CE, ED
• Semicirconferenza per due punti: disegna il semicerchio di diametro AB
• Perpendicolare: completa il rettangolo BD
• Circonferenza di dato raggio: disegna AF = sqrt(CExABxAB/DC)
• Segmento: disegna il segmento FB

Euclide introduce con il Lemma 1 un metodo per generare terne pitagoriche. Questo metodo può essere riscritto in termini algebrici nel modo seguente. Siano \(n^2 (= AB)\) e \(m^2 (= BC)\) due numeri della stessa parità con \(n^2\) il maggiore. Allora \(n^2-m^2\) è un numero pari, e posso porre \(k (= CD)\) uguale alla metà. Allora

\(n^2m^2+k^2 = (m^2+k)^2\)

\((nm)^2 + (\frac{n^2-m^2}{2})^2 = (\frac{n^2+m^2}{2})^2\)

che dà i due numeri quadrati \((nm)^2\) e \((\frac{n^2-m^2}{2})^2\) la cui somma è pure un quadrato.

Tre numeri \(x,y,z\) dove la somma dei quadrati dei pirmi due è il quadrato del terxo forma quella che viene chiamata una "TernaPitagorica". Il secondo lemma mostra che se \(n\) e \(m\) hanno la stessa parità e \(n > m\), allora \(n,m\) generano una terna pitagorica.

\(nm : \frac{n^2-m^2}{2} : \frac{n^2+m^2}{2}\)