LIBRO IX
Prop.1: Se due numeri piani simili moltiplicati tra loro producono un certo numero, allora quello che risulta è un quadrato
Dimostrazione
Siano A e B due numeri piani simili, e A moltiplicato per B produca C: dico che C è un quadrato.
A moltiplicato per se stesso produca D. Allora D è quadrato.
Poiché dunque A moltiplicato per se stesso produce D, e moltiplicato per B produce C, allora A sta a B come D sta a C (Prop.7-17). E poiché A e B sono numeri piani simili, allora un medio proporzionale cade tra A e B (Prop.8.18).
E se tra due numeri cadono numeri in proporzione continua, quanti cadono tra esse, tanti cadono anche tra quelli che hanno lo stesso rapporto, pertanto un medio proporzionale cade anche tra D e C (Prop.8-8).
Ma D è quadrato, pertanto anche C è quadrato (Prop.8.22).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A e B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = AxB; D = AxA
Questa proposizione, pur appartenendo ad un diverso libro, è la continuazione di quelle del Libro VIII.
Consideriamo due numeri piani simili (quando cioè sono ottenuti moltiplicando tra loro due numeri) \(a = 18\) e \(b = 8\). Dalla Prop.8-18, è possibile trovare un medio proporzionale tra di essi, e sia in questo caso \(12\). Se calcoliamo il quadrato di \(12\) otteniamo \(144\), così come il prodotto tra i due numeri piani, cioè \(ab = 18\times8 = 144\).
Questa proposizioneè utilizzata nel Libro X.