LIBRO VIII
Prop.8: Se tra due numeri cadono numeri in proporzione continua con essi, allora, quanti numeri cadono tra di essi in proporzione continua, tanti cadono in proporzione continua anche tra quelli che hanno lo stesso rapporto con i numeri in origine
Dimostrazione
Siano C e D i numeri che cadono tra i due nuemri A e B in proporzione continua tra di essi, e preso E nello stesso rapporto con F come A con B: dico che quanti numeri risultano cadere in proporzione continua tra A e B, tanti cadono in proporzione continua anche tra E e F.
Quanti sono infatti A, B, C, D in molteplicità, tanti numeri minimi G, H, K, L, si prendono tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A, C, D, B (Prop.7-33). Allora i loro estremi G ed L sono primi tra loro (Prop.8-3).
E poiché A, C, D, B sono nello stesso rapporto con G, H, K, L, e la molteplicità dei numeri A, C, D, B è uguale alla molteplicità dei numeri G, H, K, L, allora, tramite uguale, A sta a B come G sta a L (Prop.7-14). Ma A sta a B come E sta a F, pertanto G sta a L come E sta a F.
Ma G e L sono primi tra loro, e numeri che sono primi tra loro sono anche minimi (Prop.7-21), e i minimi misurano quelli che hanno il loro stesso rapporto, il maggiore il maggiore e il minore il minore, cioè, l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente (Prop.7-20). Pertanto G misura E lo stesso numero di volte con cui L misura F.
Ora H e K misurino M e N, rispettivamente, tante volte quante G misura E. Allora G, H, K, L misurano E, M, N, F lo stesso numero di volte. Pertanto G, H, K, L sono nello stesso rapporto con E, M, N, F. Ma G, H, K, L sono nello stesso rapporto con A, C, D, B, pertanto anche A, C, D, B sono nello stesso rapporto con E, M, N, F.
Ma A, C, D, B sono in proporzione continua, pertanto anche E, M, N, F sono in proporzione continua.
Quanti numeri A e B risultano quindi cadere in proporzione continua, tanti risultano cadere in proporzione continua anche tra E e F.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, C, E
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti B = CxC/A; D = BxC/A;
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti G = A/2; F = BxE/A; H=CxG/A
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti M = HxE/G; K = DxL/B; N = KxF/L
La proposizione è utilizzata nel Libro IX.