Elementi di Euclide

Prop.9: Se due numeri sono primi tra loro, e tra di essi cadono numeri in proporzione continua, allora, quanti numeri cadono tra di essi in proporzione continua, tanti cadono in proporzione continua anche tra ciascuno di essi e un'unità

Dimostrazione

Siano A e B due numeri primi tra loro, e C e D cadano tra di loro in proporzione continua, e si fissi l'unità E: dico che quanti numeri risultano cadere in proporzione continua tra A e B, tanti cadono in proporzione continua anche tra uno e l'altro degli A, B e dell'unità.

Si prendano due numeri minimi F, G, che sono nel rapporto di A, C, D, B, tre numeri H, K, L con la stessa proprietà, e un altro in più di seguito con continuità, finché la loro molteplicità è uguale alla molteplicità di A, C, D, B. Siano presi e siano M, N, O, P (Prop.8-2). è pertanto manifesto che F moltiplicato per se stesso produce H e moltiplicato per H produce M, mentre G moltiplicato per se stesso produce L e moltiplicato per L produce P (Prop.8-2-Cor).

E poiché M, N, O, P sono i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con F, G, e anche A, C, D, B sono i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con F, G (Prop.8-1), mentre la molteplicità dei numeri M, N, O, P è uguale alla molteplicità dei numeri A, C, D, B, allora M, N, O, P sono uguali rispettivamente a A, C, D, B. Pertanto M è uguale ad A, e P è uguale a B.

E poiché F moltiplicato per se stesso produce H, mentre F misura H secondo le unità in F. Ma anche l'unità E misura F secondo le unità in essa, pertanto l'untià E misura il numero F le stesse volte con cui F misura H. L'unità E sta quindi a F come F sta a H.

Di nuovo poiché F moltiplicato per H produce M, allora H misura M secondo le unità in F. Ma anche l'unità E misura F secondo le unità in esso; l'unità E misura quindi F le volte con cui H misura M. L'unità E sta quindi a F come H sta a M.

Ma è stato anche dimostrato che l'unità E sta a F come F sta a H, pertanto l'unità E sta a F come F sta a H, e come H sta a M. Ma M è uguale ad A, allora l'unità E sta a F come F sta a H, e come H sta ad A. Per gli stessi motivi l'unità E sta a G come G sta a L e come L sta a B.

Quanti numeri risultano quindi cadere in proporzione continua tra A e B, tanti risultano cadere in proporzione continua anche tra uno e l'altro degli A, B e l'unità E.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A, C, E, F
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti B = CxC/A; D = BxC/A;
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti G = FxC/A; H = FxF/E; K= CxH/A; L= FxF/E
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti M =A/E; N = C/E; O = D/E; P = B/E

Supponiamo che i numeri primi tra loro \(a,b\), sono gli estremi di una proporzione continua con \(n\) termini, e che \(\frac{f}{g}\) è il rapporto della proporzione ridotto ai minimi termini. Euclide mostra allora che \(a\) è la potenza di ordine \(n-1\) di \(f\) e \(b\) è la potenza di ordine \(n-1\) di \(g\).