LIBRO VIII
Prop.10: Se tra due numeri e un'unità cadono numeri in proporzione continua, allora quanti numeri cadono in proporzione continua tra di essi e un'unità, tanti cadono in propozione continua anche tra di essi
Dimostrazione
I numeri D ed E e F e G cadano rispettivamente tra i due numeri A e B e l'unità C in proporzione continua: dico che quanti numeri risultano cadere in proporzione continua tra A e B e un'unità C, tanti cadono in proporzione continua anche tra A e B.
D moltiplicato per F produce H, e moltiplicando i numeri D ed F per H si produce rispettivamente K e L.
E poiché l'unità C sta a D come D sta a E, allora l'unità C misura D le stesse volte con cui D misura E. Ma l'unità C misura D secondo le unità in D, pertanto anche D misura E secondo le unità in D. Pertanto D moltiplicato per se stesso produce E.
Di nuovo, poiché C sta a D come E sta ad A, allora l'unità C misura D le stesse volte con cui E misura A. Ma l'unità C misura D secondo le unità in D, pertanto anche E misura A secondo le unità in D. Pertanto D moltiplicato per E produce A. Per gli stessi motivi anche F moltiplicato per se stesso produce G, e moltiplicato per G produce B.
E poiché D moltiplicato per se stesso produce E e moltiplicato per F produce H, allora D sta a F come E sta a H (Prop.7-17). Per gli stessi motivi anche D sta a F come H sta a G. Pertanto E sta a H come H sta a G (Prop.7-18). Di nuovo, poiché D moltiplicato per E e H produce rispettivamente A e K, allora E sta ad H come A sta a K. Ma E sta a H come D sta a F, pertanto D sta a F come A sta a K (Prop.7-17).
E poiché D ed F moltiplicati per H producono rispettivamente K e L, allora D sta a F come K sta a L. Ma D sta a F come A sta a K, pertanto A sta a K come K sta a L. Inoltre, poiché F moltiplicato per H e G produce rispettivamente L e B, allora H sta a G come L sta a B.
Ma H sta a G come D sta a F, pertanto D sta a F come L sta a B. Ma è stato anche dimostrato che D sta a F come A sta a K e come K sta a L, pertanto A sta a K come K sta a L e come L sta a B. Pertanto A, K, L, B sono in proporzione continua.
Quanti numeri cadono quindi in proporzione continua tra A e B e l'unità C, tanti cadono in proporzione continua anche tra A e B.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti C, D, F
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti H = DxF; K = DxH; L = FxH
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = DxD/C; A = ExD/C; G= FxF
Questa proposizione è solo in parte l'inversa della precedente, poiché non richiede che i numeri generanti siano primi tra loro.