Elementi di Euclide

Prop.2: Se due numeri moltiplicati tra loro producono un quadrato, allora sono numeri piani simili

Dimostrazione

Siano A e B due numeri, e A moltiplicato per B produca un quadrato C: dico che A, B sono numeri piani simili.

A moltiplicato per se stesso produca D. Allora D è quadrato.

Poiché dunque A moltiplicato per se stesso produce D, e moltiplicato per B produce C, allora A sta a B come D sta a C (Prop.7-17). E poiché D è quadrato, così come C, allora D e C sono numeri piani simili.

Pertanto un medio proporzionale cade tra D e C. Ma D sta a C come A sta a B, quindi un medio proporzionale cade anche tra A e B (Prop.8-8).

Ma se un medio proporzionale cade tra due numeri, allora questi sono numeri piani simili (Prop.8.20), pertanto A e B sono numeri piani simili.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A e B
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = AxB; D = AxA

Questa proposizione è l'inversa della precedente.

Un esempio per illustrare la proposizione: prendiamo un quadrato come \(400 = 20^2\). Può essere scomposto in più modi nel prodotto di due fattori. Tra questi vi è \(a = 50\) e \(b = 8\). Essi hanno un medio proporzionale, che è proprio \(20\), perché \(50:20 = 20:8\).