LIBRO IX
Prop.3: Se un numero cubico moltiplicato per se stesso produce un certo numero, allora quello che risulta è un cubo
Dimostrazione
Un numero cubico A moltiplicato per se stesso produca B: dico che B è cubo.
Si prenda C, il lato di A. Moltiplicando C per se stesso si produce D. È allora manifesto che C moltiplicato per D produce A.
E poiché C moltiplicato per se stesso produce D, allora C misura D secondo le unità in esso. Ma a dire il vero anche l'unità misura C secondo le unità in esso, pertanto l'unità sta a C come C sta a D (Def.7-20).
Di nuovo, poiché C moltiplicato per D produce A, allora D misura A secondo le unità in C. Ma anche l'unità misura C secondo le unità in esso, pertanto l'unità sta a C come D sta ad A. Ma l'unità sta a C come C sta a D, pertanto l'unità sta a C come C sta a D, e come D sta ad A.
Pertanto tra l'unità e A sono caduti due medi proporzionali C e D in proporzione continua.
Di nuovo, poiché A moltiplicato per se stesso produce B, allora A misura B secondo le unità in se stesso. Ma anche l'unità misura A secondo le unità in esso, pertanto l'unità sta ad A come A sta a B. Ma tra l'unità e A sono caduti due medi proporzionali, pertanto i due medi proporzionali cadono anche tra A e B (Prop.8-8).
Ma se due numeri medi proporzionali cadono tra due numeri, e il primo è cubo, allora anche il secondo è un cubo. Ma A è un cubo, pertanto anche B è un cubo (Prop.8-23).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna il segmento C, lato del cubo
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti D = CxC; A = DxC; B = AxA
Forma algebrica di questa proposizione
\((c^3)^2 = (c^2)^3\).
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.9-9.