LIBRO IX
Prop.9: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e quello dopo l'unità è un quadrato, allora anche tutti i restanti sono quadrati; e se quello dopo l'unità è cubo, allora anche tutti i restanti sono cubi
Dimostrazione
Siano a partire da un'unità quanti si voglia numeri A, B, C, D, E, F in proporzione continua e quello dopo l'unità, A, sia quadrato: dico che anche tutti i restanti saranno quadrati.
Ora è stato dimostrato che B, il terzo dall'unità, è quadrato come tutti quelli tralasciandone uno (Prop.9-8): dico che anche tutti i restanti sono quadrati.
Poiché A, B, C sono in proporzione continua, e A è quadrato, allora anche C è quadrato. Di nuovo, poiché B, C, D sono in proporzione continua, e B è quadrato, allora anche D è quadrato (Prop.8-22). Analogamente si può dimostrare che anche tutti i restanti sono quadrati.
Sia ora A un cubo: dico che anche tutti i restanti sono cubi.
Ora è stato dimostrato che C, il quarto dall'unità, è un cubo come tutti quelli tralasciandone due: dico che anche tutti i restanti sono cubi.
Poiché l'unità sta ad A come A sta a B, allora l'unità misura A le stesse volte con cui A misura B. Ma l'unità misura A secondo le unità in esso, pertanto anche A misura B secondo le unità in esso, pertanto A moltiplicato per se stesso produce B. Ed A è cubo. Ma, se un numero cubico moltiplicato per se stesso produce un certo numero, allora anche il prodotto è un cubo, anche B è quindi un cubo (Prop.9-3).
E poiché quattro numeri A, B, C, D sono in proporzione continua, e A è un cubo, allora anche D è un cubo (Prop.8-23). Per gli stessi motivi anche E è un cubo, e analogamente tutti i restanti sono cubi.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = BxB/A; D = CxC/B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = DxD/C; F = ExE/D
Questa proposizione afferma che se un numero è un quadrato allora tutte le sue potenze sono quadrati, e che se un numero è un cubo, tutte le sue potenze lo sono.