LIBRO IX
Prop.8: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, allora il terzo a partire dall'unità è quadrato così come quelli, tralasciandone uno, il quarto è cubo come anche quelli tralasciandone due, e il settimo è cubo e insieme quadrato e lo sono anche quelli tralasciandone cinque
Dimostrazione
Siano a partire da un'unità quanti si voglia numeri A, B, C, D, E, F in proporzione continua: dico che B, il terzo dall'unità, è quadrato come lo sono tutti quelli tralasciandone uno; C il quarto, è cubico come sono tutti quelli tralasciandone due; e F il settimo, è cubo e insieme quadrato come tutti quelli tralasciandone cinque.
Poiché l'unità sta ad A come A sta a B, allora l'unità misura A le stesse volte che A misura B. Ma l'unità misura A secondo le unità in esso, pertanto anche A misura B secondo le unità in A (Def.7-20). A moltiplicato per se stesso produce quindi B, e B è quindi quadrato. E poiché B, C, D sono in proporzione continua, e B è quadrato, allora anche D è quadrato. Per gli stessi motivi anche F è quadrato (Prop.8-22).
Analogamente si può dimostrare che anche tutti quelli tralasciandone uno sono quadrati.
Dico ora C il quarto dall'unità, è cubo e anche quelli tralasciandone due.
Poiché l'unità sta ad A come B sta a C, allora l'unità misura A le stesse volte che B misura C. Ma l'unità misura A secondo le unità in A, pertanto anche B misura C secondo le unità in A. A moltiplicato B produce quindi C. Poiché allora A moltiplicato per se stesso produce B, e moltiplicato per B produce C, allora C è cubo.
E poiché C, D, E, F sono in proporzione continua, e C è cubo, allora anche F è cubo (Prop.8-23). Ma è stato dimostrato anche quadrato, pertanto il settimo numero dall'unità è sia cubo che quadrato. Analogamente si può dimostrare che tutti quelli tralasciandone cinque sono sia cubi che quadrati.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna il segmento A
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti B = AxA; C = AxB; D = CxC/B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = DxD/C; F = ExE/D
In una proporzione continua del tipo 1, \(a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7,...\)
ogni secondo, \(a^2,a^4,a^6,a^8,...\) è un quadrato;
ogni terzo, \(a^3,a^6,a^9,a^{12},...\) è un cubo;
ogni sesto, \(a^6,a^{12},a^{18},a^{24},...\) è sia un quadrato che un cubo.
Questa proposizione è usata in quattro delle cinque proposizioni successive.