Elementi di Euclide

Prop.10: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia in proporzione continua, e quello dopo l'unità non è un quadrato, allora nessun altro è un quadrato ad eccezione del terzo e di tutti quelli tralsciandone uno; e, se quello dopo l'unità non è cubo, allora anche nessun altro è cubo, ad eccezione del quarto a partire dall'unità e di tutti quelli tralasciandone due

Dimostrazione

Siano a partire da un'unità quanti si voglia numeri A, B, C, D, E, F in proporzione continua e quello dopo l'unità, A, non sia quadrato: dico che anche nessun altro è quadrato, ad eccezione del terzo a partire dall'unità e di quelli tralasciandone uno.

Se possibile, sia C il quadrato. Ma anche B è quadrato, pertanto B e C stanno tra loro nel rapporto che un quadrato ha con un quadrato (Prop.9-8). Ma B sta a C come A sta a B, pertanto A e B stanno uno all'altro come un quadrato sta a un quadrato, così che A e B sono numeri piani simili (Prop.8-26).

Ma B è quadrato, pertanto anche A è un quadrato, il che è contrario all'ipotesi. C non è quindi quadrato. Analogamente si può dimostrare che nessun altro dei numeri è quadrato tranne il terzo dall'unità e quelli tralasciandone uno.

Ma ora non sia A un cubo: dico che anche nessun altro è cubo, a eccezione del quarto a partire dall'unità e anche di tutti quelli tralasciandone due.

Se possibile, sia D un cubo. Ora anche C è un cubo, essendo il quarto dall'unità. Ma C sta a D come B sta a C, pertanto B ha con C il rapporto che un cubo ha con un cubo. Ma C è un cubo, anche B è quindi un cubo (Prop.8-25).

E poiché l'unità sta ad A come A sta a B, e l'unità misura A secondo le unità in esso, allora anche A misura B secondo le unità in se stesso. Pertanto A moltiplicato per se stesso produce il numero cubico B. Ma, se un numero moltiplicato per se stesso produce un cubo, allora è esso stesso un cubo (Prop.9-6). Pertanto anche A è cubo, il che non è stato supposto. Pertanto D non è un cubo. Analogamente si può dimostrare che nessun altro è cubo, a eccezione del quarto a partire dall'unità e di quelli tralasciandone due.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A, B
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = BxB/A; D = CxC/B
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = DxD/C; F = ExE/D

Questa proposizione è l'inversa della precedente.