LIBRO IX
Prop.11: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia in proporzione continua, allora il minore misura il maggiore secondo un certo numero tra quelli che sussistono nei numeri in proporzione
Dimostrazione
Siano a partire da un'unità quanti si voglia numeri A, B, C, D in proporzione continua: dico che B, il minore dei B, C, D, E misura E secondo uno dei C, D.
Poiché l'unità A sta a B come D sta a E, allora l'unità A misura B le stesse volte con cui D misura E. Pertanto, alternando, l'unità A misura D le stesse volte con cui B misura E (Prop.7-15).
Ma l'unità A misura D secondo le unità in esso, pertanto anche B misura E secondo le unità in D così che B il minore misura E il maggiore secondo un certo numero tra quelli presenti nei numeri in proporzione.
Corollario: Ed è manifesto che, qualunque posto ha il numero che misura, a partire dall'unità, lo stesso posto ha anche il numero secondo cui misura, a partire da quello misurato verso quello che lo precede
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = BxB/A; D = CxC/B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = DxB/A
Questa proposizione, considerando il corollario, afferma che \(a^k\) divide \(a^n,a^{n-k}\) volte.
Il corollario è utilizzato nella prossima proposizione.