Elementi di Euclide

Prop.12: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia in proporzione continua, allora da quanti numeri primi è misurato l'ultimo, dagli stessi è misurato anche quello dopo l'unità

Dimostrazione

Siano a partire da un'unità quanti si voglia numeri A, B, C, D in proporzione continua: dico che da quanti numeri primi sia misurato D, dagli stessi sarà misurato anche A.

Sia D misurato da un certo numero primo E: dico che e misura A.

Suppongo che non lo sia. Ma E è primo, e ogni numero primo è primo rispetto a ogni numero che non misura (Prop.7-29); pertanto E e A sono primi tra loro. Ma poiché E misura D, lo misuri secondo F, pertanto E moltiplicato per F produce D.

Di nuovo, poiché A misura D secondo le unità in C, allora A moltiplicato per C produce D. Ma, a dire il vero, E moltiplicato per F produce D, pertanto il prodotto di A e C è uguale al prodotto di E e F (Prop.9-11). A sta quindi a E come F sta a C (Prop.7-19). Ma A ed E sono primi tra loro, primi anche minimi, e i minimi misurano le stesse volte quelli che hanno il loro stesso rapporto (Prop.7-21), l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente (Prop.7-20), pertanto E misura C. Lo misuri secondo G.

Pertanto E moltiplicato per G produce C. Ma, per il precedente teorema, A moltiplicato B produce C. Il prodotto di A e B è quindi uguale al prodotto di E e G (Prop.9-11). Pertanto A sta a E come G sta a B (Prop.7-19). Ma A ed E sono primi tra loro, primi anche minimi, e i minimi misurano le stesse volte quelli che hanno il loro stesso rapporto (Prop.7-21), l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente (Prop.7-20), pertanto E misura B. Lo misuri secondo H. Allora E moltiplicato per H produce B.

Ma a dire il vero, A moltiplicato per se stesso produce B, pertanto il prodotto di E e H è uguale al quadrato su A (Prop.9-8). Pertanto E sta ad A come A sta a H (Prop.7-19). Ma A ed E sono primi tra loro, primi anche minimi, e i minimi misurano le stesse volte quelli che hanno il loro stesso rapporto (Prop.7-21), l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente (Prop.7-20), pertanto E misura A come l'antecedente l'antecedente. Ma anche non lo misura, il che è impossibile.

I numeri E e A non sono quindi primi tra loro. Sono quindi composti. Ma i numeri composti sono misurati da un certo numero primo (Def.7-14). E poiché E è stato supposto primo, e un primo non è misurato da altro numero che da se stesso, allora E misura A ed E, così che E misura A.

Ma misura anche D; pertanto E misura A e D. Analogamente si dimostra che, da quanti numeri primi è misurato D, dagli stessi è misurato anche A.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A, B, E
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = BxB/A; D = CxC/B
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti F = AxC/E; G = AxB/E; H = AxA/E

Questa proposizione afferma che se un numero primo \(p\) divide una potenza \(a^k\) di un numero \(a\), allora divide lo stesso numero \(a\).

Si assuma che un numero primo \(p\) divida una potenza \(a^k\) di un numero \(a\) e che \(p\) non divida \(a\). Allora \(p\) è primo rispetto ad \(a\) (Prop.7-29). Dalla proporzione

\(a^kp:a^{k-1} = a:p\)

si ha che il rapporto \((a^k/p):a^{k-1}\) si riduce ai minimi termini come \(a:p\) (Prop.7-21). Pertanto, \(p\) divide \(a^{k-1}\) (Prop.7-20). Si itera poi questo metodo fino a concludere che \(p\) divide \(a\).

Questa proposizione è utilizzata nella prossima dimostrazione.