Elementi di Euclide

Prop.13: Se a partire da una unità vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e quello dopo l'unità è primo, allora quello massimo non è misurato da nessun altro eccetto quelli che si trovano tra i numeri in proporzione

Dimostrazione

Siano a partire da un'unità quanti si voglia numeri A, B, C, D in proporzione continua e quello dopo l'unità, A, sia primo: dico che quello massimo tra essi, D, non è misurato da nessun altro a parte A, B, C.

Se infatti possibile sia misurato da E ed E non sia lo stesso di nessuno tra gli A, B, C, è quindi manifesto che E non è primo, altrimenti se E è primo e misura D, allora misura anche A, che è primo, non essendo lo stesso di esso, il che è impossibile. Pertanto E non è è primo, è quindi composto (Prop.9-12). Ma ogni numero composto è misurato da un primo, E è quindi misurato da un certo numero primo (Prop.7-31).

Dico ora che non è misurato da nessun altro primo tranne A. Se E è misurato da un altro, ed E misura D, allora anche quello misura D, così che misura pure A, che è primo, non essendo lo stesso di esso, il che è impossibile (Prop.9-12). Pertanto A misura E. Ma poiché E misura D, lo misuri secondo F.

Dico che F non è lo stesso di nessuno dei numeri A, B, C. Se F è lo stesso di uno dei numeri A, B, C e misura D secondo E, allora anche uno dei numeri A, B, C misura D secondo E (Prop.9-11). Ma uno solo dei numeri A, B, C misura D secondo uno solo dei nuemri A, B, C, pertanto anche E è lo stesso di uno solo degli A, B C, il che non è stato supposto. F non è quindi lo stesso di uno solo degli A, B, C.

Analogamente si dimostra che F è misurato da A, dimostrando ancora che F non è primo. Se lo è, e misura D, allora misura anche A, che è primo, e non è lo stesso di esso, il che è impossibile. F non è quindi primo, è quindi composto (Prop.9-12). Ma ogni composto è misurato da un certo primo, pertanto F è misurato da un certo numero primo (Prop.7-31).

Dico ora che non è misurato da un altro primo eccetto A.

Se un certo altro primo misura F, e F misura D, allora anche quell'altro misura D, così che misura anche A, che è primo, sebbene non lo stesso di esso, il che è impossibile (Prop.9-12). Pertanto A misura F. E poiché E misura D secondo F, allora E moltiplicato per F produce D. Ma A moltiplicato per C produce D, pertanto il prodotto di A e C è uguale al prodotto di E e F (Prop.9-11). In proporzione quindi A sta a E come F sta a C (Prop.7-19).

Ma A misura E, anche F misura quindi C. Lo misuri secondo G. Analogamente si dimostra che G non è lo stesso di ogni numero A o B, e che è misurato da A. E poiché F misura C secondo G, allora F moltiplicato G produce C. Ma A moltiplicato per B produce C, pertanto il prodotto di A e B è uguale al prodotto di F e G (Prop.9-11). In proporzione quindi A sta a F come G sta a B (Prop.7-19).

Ma A misura F, pertanto anche G misura B. Lo misuri secondo H. Analogamente si dimostra che H non è lo stesso di A. Ma poiché G misura B secondo H, allora G moltiplicato per H produce B. Ma A moltiplicato per se stesso produce B, pertanto il prodotto di H e G è uguale al quadrato su A (Prop.9-8). Pertanto H sta ad A come A sta a G. Ma A misura G, anche H misura quindi A (Prop.7-19), che è primo, anche se non lo stesso di esso, il che è impossibile.

Pertanto D il maggiore non è misurato da nessun altro numero eccetto A, B, C.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A, B, E
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = AxB; D = AxC
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti F = AxC/E; G = AxB/F; H = B/G

Questa proposizione afferma che i soli numeri che possono dividere una potenza di un numero primo sono le potenze inferiori di quel primo.

Questa proposizione è utilizzata nelle Prop.9-32 e Prop.9-36.