LIBRO VII
Prop.31: Ogni numero composto è misurato da un certo numero primo
Dimostrazione
Sia A un numero composto: dico che A è misurato da un certo numero primo.
Poiché A è composto, allora un numero B lo misura (Def.7-13). Se B è primo, allora risulterebbe quanto richiesto. Ma se è composto, un certo numero lo misura. Sia C il numero che lo misura.
E poiché C misura B e B misura A, allora anche C misura A. E, se C è primo, allora risulta quanto richiesto. Ma se è composto, un certo numero lo misura. Se tale investigazione prosegue in questo modo, si troverà un certo numero primo che misura quello prima di se stesso, che misura anche A. Se non viene trovato, allora illimitati numeri misurano il numero A, ognuno dei quali è minore dell'altro, il che è impossibile in numeri.
Sarà quindi preso un certo numero primo che misura quello prima di se stesso, che misura anche A.
Ogni numero composto è quindi misurato da un certo numero primo.
La costruzione con Geogebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C
Euclide non motiva la sequenza infinita di numeri nella quale ogni numero divide il precedente. Afferma solo che ciò è impossibile.
La proposizione è utilizzata nel Libro IX.