LIBRO VII
Prop.30: Se due numeri moltiplicati fra loro fanno un certo numero e un qualsiasi numero primo misura il prodotto, allora esso misura anche uno dei numeri originari
Dimostrazione
Due numeri A e B moltiplicandosi tra loro producano il numero C, e un certo numero D misuri C: dico che D misura uno solo dei numeri A, B.
Non misuri infatti A. E D è primo, pertanto A e D sono primi tra loro (Prop.7-29). E quante volte D misura C, tante unità siano in E.
Poiché dunque D misura C secondo le unità in E, allora D moltiplicato E produce C (Def.7-15). Inoltre, anche A moltiplicato B produce C, pertanto il prodotto tra D ed E è uguale al prodotto di A e B. D sta quindi ad A come B sta a E (Prop.7-19).
Ma D e A sono primi tra loro, e i primi anche minimi, e i minimi misurano le stesse volte i numeri che hanno lo stesso rapporto, il maggiore il maggiore e il minore il minore, cioè, l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente, pertanto D misura B (Prop.7-21, Prop.7-20).
Analogamente si dimostra che, se D non misura B, allora misura A. Pertanto D misura uno solo dei numeri A o B.
Pertanto, se due numeri moltiplicati fra loro fanno un certo numero e un qualsiasi numero primo misura il prodotto, allora esso misura anche uno dei numeri originari.
La costruzione con Geogebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, Dsulle due rette
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = AxB
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento E = C/D
Questa proposizione afferma che se p è un numero primo, allora quando p divide il prodotto tra due numeri, allora divide almeno uno dei fattori. Questa proprietà riguarda solo i numeri primi e non vale più per i numeri composti.
La proposizione è utilizzata nel Libro IX.