Elementi di Euclide

Prop.14: Se un numero minimo è misurato da numeri primi, allora non è misurato da nessun altro numero primo tranne quelli che lo misurano in origine

Dimostrazione

Sia A il numero minimo misurato dai numeri primi B, C, D: dico che non è misurato da nessun altro numero primo tranne B, C, D.

Se possibile, sia misurato dal numero primo <E, ed E non sia lo stesso di nessuno dei numeri B, C, D.

E poiché E misura A, lo misuri secondo F; pertanto E moltiplicato per F produce A. Ed A è misurato dai primi B, C, D. Ma, se due numeri moltiplicato tra loro producono un certo numero, e un certo numero primo misura il prodotto, allora misura anche uno dei numeri in origine; B, C, D misureranno quindi uno dei numeri E, F (Prop.7-30).

Dunque non misurano E, infatti E è primo e e non è lo stesso di nessuno dei numeri B, C, D. Misurano quindi F, che è minore di A, il che è impossibile, in quanto A è stato supposto il minimo misurato da B, C, D.

Nessun numero primo misura quindi A tranne B, C, D.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti B, C, D, E
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti A = BxCxD; D = AxC
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti F = AxC/E; G = AxB/F; H = B/G

Questa proposizione afferma che il minimo comune multiplo di una serie di numeri primi non è divisibile per un altro e diverso numero primo. Come sappiamo, il minimo comune multiplo è in questo caso il prodotto dei tre numeri primi, che non hanno divisori diversi sa se stessi.