LIBRO IX
Prop.32: Ciascuno dei numeri ottenuti per raddoppiamento a partire da una diade è pari volte pari soltanto
Dimostrazione
Siano stati ottenuti per raddoppio continuo a partire da una diade A quanti si voglia numeri B, C, D: dico che B, C, D sono soltanto pari volte pari.
Che ognuno dei numeri B, C, D sia pari volte pari è manifesto, essendo ottenuti da un continuo raddoppio a partire da una diade. Dico che sono anche soltanto pari volte pari.
Si fissi una unità. Poiché allora quanti si voglia numeri ad iniziare dall'unità sono in proporzione continua, e il numero A dopo l'unità è primo, allora D, il massimo dei numeri A, B, C, D, non è misurato da nessun altro numero tranne A, B, C (Prop.9-13). E ognuno dei numeri A, B, C è pari, pertanto D è solo pari volte pari (Def.7-8).
Analogamente si dimostra che anche ognuno dei nuemri B e C è solo pari volte pari.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna l'unità fissata
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti A = 2 unità; B = 2xA; C = 2B; D = 2xC
I numeri che sono solo pari volte pari sono le potenze del \(2\): \(2^n\).