LIBRO IX
Prop.31: Se un numero dispari è primo rispetto a un certo numero, allora è primo anche rispetto al suo doppio
Dimostrazione
Un numero dispari A sia primo rispetto a un certo numero B, il cui doppio sia C: dico che A è primo anche rispetto a C.
Se infatti A e C non sono primi tra loro, allora un certo numero li misurerà. Li misuri il numero D.
Ora A è dispari, quindi anche D è dispari. E poiché D, che è dispari, misura C, e C è pari, allora D misura anche la metà di C (Prop.9-30). Ma B è metà di C, quindi D misura B. Ma misura anche A, pertanto D misura A e B che sono primi tra loro, il che è impossibile.
A non può quindi essere primo rispetto a C. Pertanto A e C sono primi tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, D
- Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento C = 2B