Elementi di Euclide

Prop.36: Se a partire da una unità sono fissati quanti si voglia numeri in proporzione raddoppiata, fino a che la somma di tutti risulta primo, e se la somma moltiplicata per l'ultimo produce un certo numero, allora quello che risulta è perfetto

Dimostrazione

Siano fissati quanti si voglia numeri, A, B, C, D, a partire dall'unità in proporzione raddoppiata, fino a che la somma di tutti diviene primo, e uguale alla somma sia E, ed E moltiplicato per D produca FG: dico che FG è perfetto.

Quanti sono infatti A, B, C, D in molteplicità, tanti a partire da E si prendano in proporzione duplicata E, HK, L, M. Tramite uguale quindi A sta a D come E sta a M (Prop.7-14). Pertanto il prodotto di E per D è uguale al prodotto di A per M. Ma il prodotto di E per D è FG; anche il prodotto di A per M è quindi FG (Prop.7-19).

Pertanto A moltiplicato per M produce FG. E quindi M misura FG secondo le unità in A. Ma A è una diade, FG è quindi doppio di M. Ma M, L, HK, E sono di seguito doppi tra loro, pertanto E, HK, L, M, FG sono in proporzione continua in proporzione raddoppiata.

Si sottragga dal secondo HK e dall'ultimo FG i numeri HN e FO, entrambi uguali al primo E. L'eccesso del secondo sta quindi al primo come l'eccesso dell'ultimo sta alla somma di tutti quelli prima (Prop.9-35). Pertanto NK sta a E come XG sta alla somma di M, L, KH, E. Ma NK è uguale a E, anche XG è quindi uguale a M, L, HK, E. Ma anche FX è uguale a E, ed E è uguale alla somma di A, B, C, D e l'unità. FG totale è quindi uguale alla somma di E, HK, L, M, A, B, C, D, e l'unità, ed è misurato da essi.

Dico anche che FG non è misurato da nessun altro numero tranne A, B, C, D, E, HK, L, M, e l'unità.

Se infatti possibile, un certo numero O misuri FG, e O non sia lo stesso di nessuno degli altri numeri A, B, C, D, E, HK, L, M. Quante volte O misura FG, tante unità siano in P, pertanto P moltiplicato per O produce FG. Ma, a dire il vero, E moltiplicato per D produce FG, pertanto E sta a P come O sta a D (Prop.7-19).

E poiché A, B, C, D sono in proporzione continua a partire dall'unità, allora D non è misurato da nessun altro numero tranne A, B, C (Prop.9-13). E O è stato supposto diverso dai numeri A, B, C, pertanto O non misura D. Ma O sta a D come E sta a P, pertanto nemmeno E misura P (Def.7-20).

Ed E è primo, e ogni numero primo è primo rispetto a ogni numero che non misura (Prop.7-29). Pertanto E e P non sono primi tra loro. Ma i primi sono anche i minimi (Prop.7-21), e i minimi misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto, l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente (Prop.7-20), ed E sta a P come O sta a D, pertanto E misura O le stesse volte con cui P misura D.

Ma D non è misurato da nessun altro tranne A, B, C, pertanto P è lo steso di uno solo dei numeri A, B, C. Sia lo stesso di B.

E quanti sono B, C, D in molteplicità, tanti siano presi E, HK, L a partire da E. Ora E, HK, L sono nello stesso rapporto di B, C, D, pertanto, tramite uguale, B sta a D come E sta a L (Prop.7-14). Il prodotto tra B e L è quindi uguale al prodotto tra D ed E. Ma il prodotto tra D ed E è uguale al prodotto tra P e O, pertanto il prodotto tra P ed E è pure uguale al prodotto tra B e L (Prop.7-19).

P sta quindi a B come L sta a O (Prop.7-19). Ma P è lo stesso di B, pertanto anche L è lo stesso di O, il che è impossibile, essendo stato supposto O non lo stesso di qualunque numero fissato. Pertanto nessun numero misura FG tranne A, B, C, D, E, HK, L, M, e l'unità.

Ma FG è stato dimostrato uguale alla somma di A, B, C, D, E, HK, L, M, e l'unità, e un numero perfetto è quello che è uguale alle sue stesse parti: FG è quindi perfetto.

La costruzione con GeoGebra:

• strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• strumento Segmento: disegna i segmenti E, O e l'unità, u, (senza mostrarla)
• strumento Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti A = 2u; B = 4u; C = 8u; D = 16u
• strumento Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti M = ExD/A; FG = ExD; L = M/2; HK = 2xE; P = ExD/O

Come definito al termine della dimostrazione, un numero perfetto è quello che si ottiene sommando tutti i suoi divisori, unità compresa. I primi numeri perfetti sono facilmente ottenibili:

\(6 = 1 + 2 + 3\)

\(28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14\)

Gli altri numeri richiedono più fatica, ma Euclide in queste due ultime proposizioni dimostra praticamente che, se

\(2^{n+1} -1\) è un numero primo, allora \(2^n \cdot (2^{n+1} - 1)\) è perfetto.