LIBRO IX
Prop.35: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e si sottraggono al secondo e all'ultimo numeri uguali al primo, allora l'eccesso del secondo sta al primo come l'eccesso dell'ultimo sta alla somma di tutti quelli prima di lui
Dimostrazione
Siano quanti si voglia numeri in proporzione continua A, BC, D, EF a partire da A minimo e si sottragga da BC e EF i numeri BG e FH entrambi uguali ad A: dico che GC sta ad A come EH sta alla somma di A, BC, D.
Si prenda FK uguale a BC, e FL uguale a D. E poiché FK è uguale a BC, e di questo la parte FH è uguale alla parte BG, allora HK restante è uguale a GC restante.
E poiché EF sta a D come D sta a BC, e come BC sta ad A, mentre D è uguale a FL, BC è uguale FK, e A è uguale a FH, allora EF sta a FL come LF sta a FK, e come FK sta a FH (Prop.7-11). Dividendo EL sta a LF come LK sta a FK, e come KH sta a FH (Prop.7-13).
Poiché uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, allora KH sta a FH come la somma di EL, LK, KH sta alla somma di LF, FK, HF (Prop.7-12). Ma KH è uguale a CG, FH è uguale a A, e la somma di LF, FK, HF è uguale alla somma di D, BC, A, allora CG sta ad A come EH sta alla somma di D, BC, A.
L'eccesso del secondo sta quindi al prim ocome l'eccesso dell'ultimo sta alla somma di quelli che lo precedono.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, BC
- Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti D = BCxBC/A; EF = DxD/BC
- Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti FK = BC; FL = D
- Punto: traccia il punto G sul segmento BC, che forma così il segmento BG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FH = BG
Tradotta in linguaggio algebrico, la proposizione afferma che se una successione di numeri \(a_1,a_2,a_3,...,a_n,a_{n+1}\) è in proporzione continua, cioé
\(a_1:a_2 = a_2:a_3 = ... = a_n:a_{n+1}\)
allora
\((a_2-a_1):a_1 = (a_{n+1}-a_1):(a_1+a_2+...+a_n)\).
Ciò consente di esprimere la somma di termini in proporzione continua nel modo seguente
\(a_1+a_2+a_3+...+a_n = a_1 \cdot \frac{a_{n+1}-a_1}{a_2-a_1}\)