LIBRO VIII
Prop.18: Tra due numeri piani simili c'è un solo numero medio proporzionale, e il numero piano ha con il numero piano il rapporto raddoppiato rispetto a quello che il lato omologo ha con il lato omologo
Dimostrazione
Siano A, B due numeri piani simili, e siano C, D i lati di A e E, F quelli di D. E poiché numeri piani simili sono quelli che hanno i lati in proporzione, C sta a D come E sta a F (Def.7-21). Dico dunque che tra A e B c'è un solo medio proporzionale e che A ha con B un rapporto raddoppiato rispetto a quello di C con E o di D con F, cioè del lato omologo con il lato omologo.
E poiché C sta a D come E sta a F, allora, alternando C sta a E come D sta a F (Prop.7-13). E poiché A è piano, e C, D sono i suoi lati, allora D moltiplicato per C produce A. Per gli stesi motivi anche E moltiplicato per F produce B.
D moltiplicato per E produce G. Allora, poiché D moltiplicato per C produce A, e moltiplicato per E produce G, pertanto C sta a E come A sta a G (Prop.7-17). Ma C sta a E come D sta a F, pertanto D sta a F come A sta a G. Di nuovo, poiché E moltiplicato per D produce G, e moltiplicato per F produce B, allora D sta a F come G sta a B (Prop.7-17).
Ma è stato anche dimostrato che D sta a F come A sta a G, pertanto A sta a G come G sta a B. I numeri A, G, B sono quindi in proporzione continua. Pertanto tra A e B vi un numero medio proporzionale.
Dico ora anche che A ha con B il rapporto raddoppiato di quello che il lato omologo ha con il lato omologo, cioè, di quello che C ha con E o D con F.
Poiché A, G, B sono in proporzione continua, A ha con B il rapporto raddoppiato di quello che ha con G. E A sta a G come C sta a E, e come D sta a F. Pertanto anche A ha con B il rapporto raddoppiato di quello che C ha con E o D ha con F.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti C, D, E
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento F = DxE/C
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento A = DxC; B = ExF; G = DxE
Questa proposizione generalizza la Prop.8-11, estendendola dal quadrato al caso di un qualsiasi rettangolo. (Un numero piano è quello che si ottiene moltiplicando due numeri, qui intesi come base e altezza di un rettangolo).
Questa proposizione è largamente utilizzata nel seguito del Libro VIII e pure nel Libro IX.