LIBRO X - Seconda Parte
Prop.49: Trovare una binomiale seconda
Dimostrazione
Siano fissati due numeri AC e CB tali che la loro somma AB abbia con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, ma che non ha con CA il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. Sia fissata una certa retta razionale D, e sia EF commensurabile in lunghezza con D. Anche EF è quindi razionale.
E risulti essere che il numero CA sta a AB come il quadrato su EF sta al quadrato su FG (Prop.10-6-Cor). Il quadrato su EF è quindi commensurabile con il quadrato su FG. Anche FG è quindi razionale (Prop.10-6).
E poiché il numero CA non ha con AB il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, nemmeno il quadrato su EF ha con il quadrato su FG il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. EF è quindi incommensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-9). EF e FG sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. EG è quindi binomiale (Prop.10-36).
Dico che è anche una retta binomiale seconda.
Poiché, invertendo, il numero BA sta ad AC come il quadrato su GF sta al quadrato su FE, mentre BA è maggiore di AC, allora il quadrato su GF è maggiore del quadrato su FE (Prop.5-7-Cor). La somma dei quadrati su EF e H sia uguale al quadrato su GF. Allora, convertendo, AB sta a BC come il quadrato su FG sta al quadrato su H (Prop.5-19-Cor).
Ma AB ha con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto anche il quadrato su FG ha con il quadrato su H il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. FG è quindi commensurabile in lunghezza con H, così che il quadrato su FG è maggiore del quadrato su FE per il quadrato su una retta commensurabile con FG (Prop.10-9).
Ma FG e FE sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e EF, il termine minore, è commensurabile in lunghezza con la retta razionale D fissata. EG è quindi una retta binomiale seconda.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti AC, CB, D, EF (AC e CB in rosso ad indicare che sono numeri)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FG = sqrt(ABxEFxEF/CA)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento H = sqrt(GFxGF-EFxEF)