Elementi di Euclide

Prop.50: Trovare una binomiale terza

Dimostrazione

Siano fissati due numeri AC e CB tali che la loro somma AB abbia con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, ma che non ha con CA il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. Sia fissato un altro numero non quadrato D, e non abbia rispetto ai numeri BA e AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.

Sia fissata una certa retta razionale E, e risulti che D sta ad AB come il quadrato su E sta al quadrato su FG. Allora il quadrato su E è commensurabile con il quadrato su (Prop.10-6-Cor). Ma E è razionale, pertanto anche FG è razionale. E poiché D non ha con AB il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, nemmeno il quadrato su E ha con il quadrato su FG il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto E è incommensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-9).

Risulti ora di nuovo che il numero BA sta ad AC come il quadrato su FG sta al quadrato su GH. Allora il quadrato su FG è commensurabile con il quadrato su GH (Prop.10-9). Ma FG è razionale, anche GH è quindi razionale.

E poiché BA non ha con AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, neppure il quadrato su FG ha con il quadrato su HG il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto FG è incommensurabile in lunghezza con GH (Prop.10-6). FG e GH sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in lunghezza. FH è quindi binomiale (Prop.10-36).

Dico che è anche una retta binomiale terza.

Poiché D sta ad AB come il quadrato su E sta al quadrato su FG, e BA sta ad AC come il quadrato su FG sta al quadrato su GH, allora, tramite uguale, D sta ad AC come il quadrato su E sta al quadrato su GH (Prop.5-22). Ma D non ha con AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto nemmeno il quadrato su E ha con il quadrato su GH il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. Pertanto E è incommensurabile in lunghezza con GH (Prop.10-9).

Poiché BA sta ad AC come il quadrato su FG sta al quadrato su GH, allora il quadrato su FG è maggiore del quadrato su GH. Sia la somma dei quadrati su GH e K uguale al quadrato su FG. Allora, convertendo, AB sta a BC come il quadrato su FG sta al quadrato su K (Prop.5-19-Cor).

Ma AB ha con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto anche il quadrato su FG ha con il quadratro su K il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. FG è quindi commensurabile in lunghezza con K (Prop.10-9). Il quadrato su FG è quindi maggiore del quadrato su GH per il quadrato su una retta commensurabile con FG.

Ma FG e GH sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e nessuna di esse è commensurabile in lunghezza con E. FH è quindi una retta binomiale terza.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti AC, CB, D, E (AC e CB e D in rosso ad indicare che sono numeri)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FG = sqrt(ABxExE/D)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GH = sqrt(ACxFGxFG/BA)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento K= sqrt(FGxFG-GHxGH)

Questa proposizione non è più usata nel resto degli Elementi.