LIBRO X - Seconda Parte
Prop.51: Trovare una binomiale quarta
Dimostrazione
Siano fissati due numeri AC e CB tali che AB non abbia né con BC né con AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. Sia fissata una retta razionale D, e sia EF commensurabile in lunghezza con D. Anche EF è allora razionale.
E risulti che il numero BA sta a AC come il quadrato su EF sta al quadrato su FG. Allora il quadrato su EF è commensurabile con il quadrato su FG. Anche FG è quindi razionale (Prop.10-6). E poiché BA non ha con AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, nemmeno il quadrato su EF ha con il quadrato su FG il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; EF è quindi incommensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-9).
EF e FG sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza, così che EG è binomiale.
Dico ora che è anche una retta binomiale quarta.
Poiché BA sta ad AC come il quadrato su EF sta al quadrato su FG, allora il quadrato su EF è maggiore del quadrato su FG.
Sia la somma dei quadrati su FG e H uguale al quadrato su EF. Allora, convertendo, il numero AB sta a BC come il quadrato su EF sta al quadrato su H (Prop.5-19-Cor).
Ma AB non ha con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto nemmeno il quadrato su EF ha con il quadrato su H il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. EF è quindi incommensurabile in lunghezza con H. Il quadrato su EF è quindi maggiore del quadrato su GF per il quadrato su una retta incommensurabile con EF (Prop.10-9).
Ma EF e FG sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e EF è commensurabile in lunghezza con D. EG è quindi una retta binomiale quarta.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti AC, CB, D, EF (AC e CB in rosso ad indicare che sono numeri)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FG = sqrt(ACxEFxEF/BA)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento H = sqrt(EFxEF-FGxFG)