LIBRO X - Seconda Parte
Prop.52: Trovare una binomiale quinta
Dimostrazione
Siano fissati due numeri AC e CB tali che AB non abbia né con BC né con AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. Sia fissata una retta razionale D, e sia EF commensurabile in lunghezza con D. Anche EF è allora razionale.
E risulti che il numero CA sta ad AB come il quadrato su EF sta al quadrato su FG (Prop.10-6-Cor). Ma CA non ha con AB il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto nemmeno il quadrato su EF ha con il quadrato su FG il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.
EF e FG sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-36), così che EG è binomiale (Prop.10-9).
Dico ora che è anche una retta binomiale quinta.
Poiché CA sta ad AB come il quadrato su EF sta al quadrato su FG, allora, invertendo, BA sta ad AC come il quadrato su FG sta al quadrato su FE (Prop.5-7-Cor). Il quadrato su GF è quindi maggiore del quadrato su FE.
Sia la somma dei quadrati su EF e H uguale al quadrato su GF. Allora, convertendo, il numero AB sta a BC come il quadrato su GF sta al quadrato su H (Prop.5-19-Cor).
Ma AB non ha con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto nemmeno il quadrato su FG ha con il quadrato su H il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. FG è quindi incommensurabile in lunghezza con H, così che il quadrato su FG è maggiore del quadrato su FE per il quadrato su una retta incommensurabile con FG (Prop.10-9).
Ma GF e FE sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e il termine minore EF è commensurabile in lunghezza con la retta razionale data D. EG è quindi una retta binomiale quinta.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti AC, CB, D, EF (AC e CB in rosso ad indicare che sono numeri)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FG = sqrt(ABxEFxEF/CA)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento H = sqrt(FGxFG-EFxEF)