LIBRO X - Seconda Parte
Prop.53: Trovare una binomiale sesta
Dimostrazione
Siano fissati due numeri AC e CB tali che AB non abbia né con BC né con AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. Sia fissato un altro numero D che non è quadrato e che non ha nemmeno con uno o l'altro dei numeri BA o AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.
Sia fissata una certa retta razionale E, e risulti essere che D sta ad AB come il quadrato su E sta al quadrato su FG (Prop.10-6-Cor). Allora il quadrato su E è commensurabile con il quadrato su FG. Ma E è razionale, anche FG è quindi razionale (Prop-10-6).
E poiché D non ha con AB il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, nemmeno il quadrato su E ha con il quadrato su FG il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto E è incommensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-9).
Di nuovo, risulti che BA sta ad AC come il quadrato su FG sta al quadrato su GH. Allora il quadrato su FG è commensurabile con il quadrato su HG (Prop.10-6). Pertanto il quadrato su HG è razionale. HG è quindi razionale. E poiché BA non ha con AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, nemmeno il quadrato su FG ha con il quadrato su GH il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; FG è quindi incommensurabile in lunghezza con GH (Prop.10-9). FG e GH sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza. FH è quindi binomiale.
Dico ora che è anche una retta binomiale sesta.
Poiché D sta ad AB come il quadrato su E sta al quadrato su FG, e anche BA sta ad AC come il quadrato su FG sta al quadrato su GH, allora, tramite uguale, D sta ad AC come il quadrato su E sta al quadrato su GH (Prop.5-22).
Ma D non ha con AC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto nemmeno il quadrato su E ha con il quadrato su GH il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; E è quindi incommensurabile in lunghezza con GH (Prop.10-9).
Ma è stato anche dimostrato incommensurabile con FG, pertanto ognuna delle rette FG e GH è incommensurabile in lunghezza con E. E poiché BA sta ad AC come il quadrato su FG sta al quadrato su GH, allora il quadrato su FG è maggiore del quadrato su GH.
La somma dei quadrati su GH e K è quindi uguale al quadrato su FG. Convertendo, AB sta quindi a BC come il quadrato su FG sta al quadrato su K (Prop.5-19-Cor). Ma AB non ha con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, così che nemmeno il quadrato su FG ha con il quadrato su K il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.
FG è quindi incommensurabile in lunghezza con A. Il quadrato su FG è allora maggiore del quadrato su GH per il quadrato su una retta incommensurabile con FG (Prop.10-9). Ma FG e GH sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e nessuna di esse è commensurabile in lunghezza con la retta razionale fissata E. FH è quindi una retta binomiale sesta.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti AC, CB, D, EF (AC e CB, D in rosso ad indicare che sono numeri)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FG = sqrt(ABxExE/D)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GH = sqrt(ACxFGxFG/BA)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento K = sqrt(FGxFG-GHxGH)