Elementi di Euclide

Lemma: Siano AB e BC due quadrati, e siano posti in modo che DB sia in linea retta con BE. Allora anche FB è in linea retta con BG. Si completi il parallelogrammo AC: dico che AC è un quadrato, che DG è medio proporzionale tra AB e BC, e inoltre che DC è un medio proporzionale tra AC e CB.

Poiché DB è uguale a BF, e BE a BG, allora DE totale è uguale a FG totale. Ma DE è uguale ad ognuna delle rette AH e KC, e FG è uguale ad ognuna delle rette AK e HC, pertanto anche ognuna delle rette AH e KC è uguale ad ognuna delle rette AK e HC (Prop.1-34). Il parallelogrammo AC è quindi equilatero. Ed è anche rettangolo, pertanto AC è un quadrato.

Poiché FB sta a BG come DB sta a BE, mentre FB sta a BG come AB sta a DG, e DB sta a BE come DG sta a BC, allora AB sta a DG come DG sta a BC (Prop.6-11). DG è quindi medio proporzionale tra AB e BC.

Dico ora che anche DC è medio proporzionale tra AC e CB.

Poiché AD sta a DK come KG sta a GC, sono infatti rispettivamente uguali, e, componendo, AK sta a KD come KC sta a CG (Prop.5-18), mentre AK sta a KD come AC sta a CD, e AC sta a CG come DC sta a CB, allora AC sta a DC come DC sta a BC (Prop.6-11). DC è quindi medio proporzionale tra AC e CB.

La costruzione con GeoGebra:

• Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta passante per A
• Bisettrice: disegna la bisettrice dell'angolo tra le due rette
• Punto: segna sulla bisettrice il punto B
• Perpendicolare: disegna le perpendicolari da B ai due lati della bisettrice, che intersecano in D e F
• Punto: segna sulla bisettrice il punto C oltre B
• Perpendicolare: disegna le perpendicolari da C ad AD, AF e BD, che intersecano in K H e E
• Poligono: completa i poligoni presenti

Prop.54: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una binomiale prima, allora il lato dell'area è la retta irrazionale che è chiamata binomiale

Dimostrazione

Sia AC l'area compresa da una retta razionale AB e da una binomiale prima AD: dico che il lato dell'area AC è la retta irrazionale che è detta binomiale.

Poiché AD è una retta binomiale prima, la si divida nei suoi termini in E, e sia AE il termine maggiore. Allora è manifesto che AE e ED sono rette razionali commensurabili solo in potenza, il quadrato su AE è maggiore del quadrato su ED per il quadrato su una retta commensurabile con AE, e AE è commensurabile in lunghezza con la retta razionale fissata AB (Def.10-2).

Si sechi ora a metà ED nel punto F. E poiché il quadrato su AE è maggiore del quadrato su ED per il quadrato su una retta commensurabile con se stessa, allora, se è applicato alla maggiore AE un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore, cioè, al quadrato su EF, e facente difetto di un quadrato, allora la divide in parti commensurabili (Prop.10-17).

Si applichi ad AE il rettangolo AG per GE uguale al quadrato su EF. Allora AG è commensurabile in lunghezza con EG. Si conducano GH, EK, FL da G, E, F parallele a una o all'altra delle rette AB e CD. Si costruisca il quadrato su SN uguale al parallelogrammo AH, e il quadrato NQ uguale a GK, e sia posto in modo che MN sia in linea retta con NO. Allora anche RN è in linea retta con NP. Si completi il parallelogrammo SQ. Allora SQ è un quadrato (Lemma).

Ora, poiché il rettangolo AG per GE è uguale al quadrato su EF, allora AG sta a EF come FE sta a EG (Prop.6-17). AH sta quindi a EL come EL sta a KG. EL è quindi medio proporzionale tra AH e GK (Prop.6-1). Ma AH è uguale a SN, e GK è uguale a NQ, pertanto EL è medio proporzionale tra SN e NQ. Ma MR è anche medio proporzionale tra gli stessi SN e NQ, pertanto EL è uguale a MR, così che è anche uguale a PO ( Lemma).

Ma anche AH e GK sono uguali a SN e NQ, pertanto AC totale è uguale a SQ totale, cioè, è uguale al quadrato su MO. MO è quindi il lato di AC.

Dico ora che MO è binomiale.

Poiché AG è commensurabile con GE, anche AE è quindi commensurabile con ognuna delle rette AG e GE (Prop.10-15). Ma AE è anche, per ipotesi, commensurabile con AB, pertanto anche AG e GE sono commensurabili con AB (Prop.10-12). Ma AB è razionale, pertanto anche ognuna delle rette AG e GE è razionale. Ognuno dei rettangoli AH e GK è quindi razionale, e AH è commensurabile con GK (Prop.10-19).

Ma AH è uguale a SN, e GK è uguale a NQ, pertanto la somma di SN e NQ, cioè i quadrati su MN e NO, sono razionali e commensurabili. Poiché AE è incommensurabile in lunghezza con ED, mentre AE è commensurabile con AG, e DE è commensurabile con EF, pertanto anche AG è incommensurabile con EF (Prop.10-13), così che anche AH è incommensurabile con EL (Prop.10-11).

Ma AH è uguale a SN, e EL è uguale a MR, pertanto anche SN è incommensurabile con MR. Ma SN sta a MR come PN sta a NR, pertanto PN è incommensurabile con NR (Prop.10-11). Ma PN è uguale a MN, e NR è uguale a NO, pertanto MN è incommensurabile con NO. Ma il quadrato su MN è commensurabile con il quadrato su NO, e ognuna è razionale, pertanto MN e NO sono rette razionali commensurabili solo in potenza. MO è quindi binomiale e il lato di AC.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna la retta AB
• Perpendicolare: disegna la retta AD perpendicolare ad AB
• Parallela: completa il rettangolo AC
• Punto: segna un punto E su AD tale che AE > ED e si tracci il segmento ED
• Punto Medio: segna il punto medio di ED, F
• Circonferenza di Raggio dato: disegna il segmento EG = (AE-sqrt(AExAE-4EFxEF))/2
• Parallela: disegna i segmenti GH, EK, FL parallali ad AB
• Retta: disegna una retta orizzontale e un punto S su di essa
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta passante per S
• Bisettrice: disegna la bisettrice dell'angolo tra le due rette
• Circonferenza di Raggio dato: disegna il segmento SP = sqrt(ABxAG)
• Poligono regolare: disegna il quadrato SN
• Parallela: disegna la retta parallela a SP passante per N
• Circonferenza di Raggio dato: disegna il segmento NO = sqrt(GExEK)
• Poligono regolare: disegna il quadrato NQ
• Parallela e Segmento: completa i segmenti indicati