LIBRO X - Seconda Parte
Prop.55: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una binomiale seconda, allora il lato dell'area è la retta irrazionale che è chiamata bimediale prima
Dimostrazione
Sia l'area ABCD compresa dalla retta razionale AB e dalla binomiale seconda AD: dico che il lato dell'area AC è una retta bimediale prima.
Poiché AD è una retta binomiale seconda, la si divida nei suoi termini in E, così che AE sia il termine maggiore. Allora AE e ED sono rette razionali commensurabili solo in potenza, il quadrato su AE è maggiore del quadrato su ED per il quadrato su una retta commensurabile con AE, e il termine minore ED è commensurabile in lunghezza con AB (Def 10-2).
Si sechi ED a metà in F, e si applichi ad AE il rettangolo AG per GE uguale al quadrato su EF e facente difetto di una figura quadrata. Allora AG è commensurabile in lunghezza con GE (Prop.10-17). Si traccino GH, EK, FL per G, E, F parallele ad AB e CD. Si costruisca il quadrato SN uguale al parallelogramma AH, e il quadrato NQ uguale a GK, e sia posto in modo che MN sia in linea retta con NO. Allora anche RN è in linea retta con NP. Si completi il quadrato SQ. Allora è manifesto da quanto dimostrato prima che MR è medio proporzionale tra SN e NQ ed uguale a EL, e che è il lato dell'area AC.
Va ora dimostrato che MO è una retta bimediale prima.
Poiché AE è commensurabile in lunghezza con ED, mentre ED è commensurabile con AB, allora AE è incommensurabile con AB (Prop.10-13). Poiché AG è commensurable con EG, allora anche AE è commensurabile con ognuna delle rette AG e GE (Prop.10-15). Ma AE è incommensurabile in lunghezza con AB, pertanto anche AG e GE sono incommensurabili con AB (Prop.10-13).
Pertanto BA e AG, e BA e GE, sono coppie di rette razionali commensurabli solo in potenza, così che ognuno dei rettangoli AH e GK è mediale (Prop.10-21). Così che ognuno dei quadrati SN e NQ è mediale. Anche MN e NO sono quindi mediali. Poiché AG è commensurabile in lunghezza con GE, allora anche AH è commensurabile con GK, cioè, SN è commensurabile con NQ, cioè, il quadrato su MN con il quadrato su NO (Prop.10-11).
Poiché AE è incommensurabile in lunghezza con ED, mentre AE è commensurabile con AG, e ED è commensurabile con EF, allora AG è incommensurabile con EF, così che anche AH è incommensurabile con EL, cioè, SN è incommensurabile con MR, cioè, PN con NR, cioè, MN è incommensurabile in lunghezza con NO (Prop.10-11). Ma MN e NO sono stati dimostrati essere entrambe mediali e commensurabili in potenza, pertanto MN e NO sono rette mediali commensurabili soltanto in potenza.
Dico ora che comprendono anche un rettangolo razionale.
Poiché DE è stata supposta commensurabile con ognuna delle rette AB e EF, allora anche EF è commensurabile con EK (Prop.10-12). E ognuna di esse è razionale, pertanto EL, cioè, MR è razionale, e MR è il rettangolo MN per NO (Prop.10-19).
Ma se due rette mediali commensurabili soltanto in potenza e comprendenti un rettangolo razionale vengono composti, allora la totale è irrazionale ed è chiamata retta bimediale prima. MO è quindi una retta bimediale prima (Prop.10-37).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta orizzontale e un punto A su di essa
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta passante per A
- Bisettrice: disegna la bisettrice dell'angolo tra le due rette
- Punto: segna sulla bisettrice il punto B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da B ai due lati della bisettrice, che intersecano in D e F
- Punto: segna sulla bisettrice il punto C oltre B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da C ad AD, AF e BD, che intersecano in K H e E
- Poligono: completa i poligoni presenti