LIBRO X - Seconda Parte
Prop.56: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una binomiale terza, allora il lato dell'area è la retta irrazionale che è chiamata bimediale seconda
Dimostrazione
Sia l'area ABCD compresa dalla retta razionale AB e dalla binomiale terza AD che risulti divisa nei suoi termini secondo E: dico che il lato dell'area AC è la retta irrazionale chiamata bimediale seconda.
Si effettui la stessa costruzione della precedente [proposizione].
E poiché AD è una binomiale terza, allora AE e ED sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, il quadrato su AE è maggiore del quadrato su ED per il quadrato su una retta commensurabile con AE, e nessuno dei termini AE e ED è commensurabile in lunghezza con AB (Def.10-11).
Del tutto similmente a quanto prima dimostrato, dimostreremo che MO è il lato dell'area AC, e MN e NO sono rette mediali commensurabili solo in potenza, così che MO è bimediale.
Va ora dimostrato che è anche bimediale seconda.
Poiché DE è incommensurabile in lunghezza con AB, cioè, con EK, e DE è commensurabile con EF, allora EF è incommensurabile in lunghezza con EK (Prop.10-13). Ed esse sono razionali; FE e EK sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza. EL, cioè, MR, è quindi mediale (Prop.10-21) ed è compresa da MN e NO. Il rettangolo MN per NO è quindi mediale. MO è quindi una retta bimediale seconda (Prop.10-38).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta orizzontale e un punto A su di essa
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta passante per A
- Bisettrice: disegna la bisettrice dell'angolo tra le due rette
- Punto: segna sulla bisettrice il punto B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da B ai due lati della bisettrice, che intersecano in D e F
- Punto: segna sulla bisettrice il punto C oltre B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da C ad AD, AF e BD, che intersecano in K H e E
- Poligono: completa i poligoni presenti