LIBRO X - Seconda Parte
Prop.57: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una binomiale quarta, allora il lato dell'area è la retta irrazionale che è chiamata maggiore
Dimostrazione
Sia l'area AC compresa dalla retta razionale AB e dalla binomiale quarta AD che risulti divisa nei suoi termini, dei quali AE sia il maggiore, secondo E: dico che il lato dell'area AC è la retta irrazionale chiamata maggiore.
Poiché AD è una retta binomiale quarta, allora AE e ED sono razionali commensurabili soltanto in potenza, il quadrato su AE è maggiore del quadrato su ED per il quadrato su una retta incommensurabile con AE, e AE è commensurabile in lunghezza con AB (Def.10-2-4).
Si sechi DE a metà in F, e si applichi ad AE un parallelogrammo, il rettangolo AG per GE, uguale al quadrato su EF. Allora AG è incommensurabile in lunghezza con GE (Prop.10-18). Si traccino GH, EK, FL parallele ad AB, il resto risulti essero lo stesso dela costruzione precedente. Allora è manifesto che MO è il lato dell'area AC.
Va ora dimostrato che MO è la retta irrazionale detta maggiore.
Poiché AG è incommensurabile con EG, allora anche AH è incommensurabile con GK, cioè, SN con NQ. MN e NO sono quindi incommensurabili in potenza (Prop.10-11). Poiché AE è commensurabile con AB, allora AK è razionale, ed è uguale alla somma dei quadrati su MN e NO. Anche la somma dei quadrati su MN e NO è quindi razionale (Prop.10-19).
Poiché DE è incommensurabile in lunghezza con AB, cioè, con EK, mentre DE è commensurabile con EF, allora EF è incommensurabile in lunghezza con EK (Prop.10-13). EK e EF sono quindi rette razionali commensurabil soltanto in potenza. LE, cioè, MR, è quindi mediale (Prop.10-21). Ed è compresa da MN e NO, pertanto il rettangolo MN per NO è mediale. E la somma dei quadrati su MN e NO è razionale, e MN e NO sono incommensurabili in potenza.
Ma se due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale, ma il rettangolo da esse compreso mediale, sono composte, allora il totale è irrazionale ed è chiamata maggiore. MO è quindi la retta irrazionale chiamata maggiore ed è il lato dell'area AC (Prop.10-39).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta orizzontale e un punto A su di essa
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta passante per A
- Bisettrice: disegna la bisettrice dell'angolo tra le due rette
- Punto: segna sulla bisettrice il punto B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da B ai due lati della bisettrice, che intersecano in D e F
- Punto: segna sulla bisettrice il punto C oltre B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da C ad AD, AF e BD, che intersecano in K H e E
- Poligono: completa i poligoni presenti