LIBRO X - Seconda Parte
Prop.58: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una binomiale quinta, allora il lato dell'area è la retta irrazionale chiamata il lato di una razionale più un'area mediale
Dimostrazione
Sia l'area AC compresa dalla retta razionale AB e dalla binomiale quinta AD che risulti divisa nei suoi termini, dei quali AE sia il maggiore, secondo E: dico che il lato dell'area AC è la retta irrazionale chiamata il lato di una razionale più un'area mediale.
Siano effettuate le stesse costruzioni mostrate in precedenza. Allora è manifesto che MO è il lato dell'area AC. Va ora dimostrato che MO è il lato di una razionale più un'area mediale. Poiché AG è incommensurabile con GE, allora anche AH è commensurable con HE (Prop.10-18), cioè, il quadrato su MN con il quadrato su NO. Pertanto MN e NO sono incommensurabili in potenza (Prop.10-11).
Poiché AD è una binomiale quinta, e ED è il suo segmento minore, allora ED è commensurabile in lunghezza con AB (Def.10-5). Ma AE è incommensurabile con ED, pertanto anche AB è incommensurabile in lunghezza con AE (Prop.10-13). Pertanto AK, cioè la somma dei quadrati su MN e NO, è mediale (Prop.10-21).
Poiché DE è commensurabile in lunghezza con AB, cioè, con EK, mentre DE è commensurabile con EF, allora anche EF è commensurabile con EK (Prop.10-12). Ma EK è razionale, pertanto EL, cioè, MR, cioè, il rettangolo MN per NO, è pure razionale (Prop.10-19).
MN e NO sono quindi rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale, ma il rettangolo da esse compreso mediale. MO è quindi il lato di una razionale più un'area mediale ed è il lato dell'area AC (Prop.10-40).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta orizzontale e un punto A su di essa
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta passante per A
- Bisettrice: disegna la bisettrice dell'angolo tra le due rette
- Punto: segna sulla bisettrice il punto B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da B ai due lati della bisettrice, che intersecano in D e F
- Punto: segna sulla bisettrice il punto C oltre B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da C ad AD, AF e BD, che intersecano in K H e E
- Poligono: completa i poligoni presenti