LIBRO X - Seconda Parte
Prop.59: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una binomiale sesta, allora il lato dell'area è la retta irrazionale chiamata il lato della somma di due aree mediali
Dimostrazione
Sia l'area ABCD compresa dalla retta razionale AB e dalla binomiale sesta AD che risulti divisa nei suoi termini, dei quali AE sia il maggiore, secondo E: dico che il lato dell'area AC è la somma di due aree mediali.
Siano effettuate le stesse costruzioni mostrate in precedenza. Allora è manifesto che MO è il lato di AC, e che MN è incommensurabile in potenza con NO.
E poiché EA è incommensurabile in lunghezza con AB, allora EA e AB sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. AK, cioè, la somma dei quadrati su MN e NO, è quindi mediale (Prop.10-21).
Di nuovo, poiché ED è incommensurabile in lunghezza con AB, allora anche FE è incommensurabile con EK. FE, EK sono quindi razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-13). EL, cioè, MR, cioè, il rettangolo MN per NO, è quindi mediale (Prop.10-21).
Poiché AE è incommensurabile con EF, allora anche AK è incommensurabile con EL (Prop.10-11). Ma AK è la somma dei quadrati su MN e NO, e EL è il rettangolo MN per NO, pertanto la somma dei quadrati su MN e NO è incommensurabile con il rettangolo MN per NO. E ognuno di esse è mediale, e MN e NO sono incommensurabili in potenza.
MO è quindi il lato della somma di due aree mediali, ed è il lato di AC (Prop.10-41).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta orizzontale e un punto A su di essa
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta passante per A
- Bisettrice: disegna la bisettrice dell'angolo tra le due rette
- Punto: segna sulla bisettrice il punto B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da B ai due lati della bisettrice, che intersecano in D e F
- Punto: segna sulla bisettrice il punto C oltre B
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da C ad AD, AF e BD, che intersecano in K H e E
- Poligono: completa i poligoni presenti