Elementi di Euclide

Lemma: Se una retta è secata in due parti disuguali, allora la somma dei quadrati sulle parti disugiali è maggiore del doppio del rettangolo compreso dalle parti disuguali

Dimostrazione

Sia data una retta AB e sia secata in parti disuguali in C, e sia AC la maggiore: dico che la somma dei quadrati su AC e CB è maggiore del doppio del rettangolo AC per CB.

Si sechi AB a metà in D. Poiché una retta risulta secata in segmenti uguali in D e in disuguali in C, allora il rettangolo AC per CB più il quadrato su CD è uguale al quadrato su AD (Prop.2-5), così che il rettangolo AC per CB è minore del quadrato su AD. Il doppio del rettangolo AC per CB è quindi minore del doppio del quadrato su AD.

Ma la somma dei quadrati su AC e CB è doppia della somma sui quadrati su AD e DC, pertanto la somma dei quadrati su AC e CB è maggiore del doppio del rettangolo AC per CB (Prop.2-9).

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB
• Punto Medio: segna il punto medio, D, su AB
• Segmento: disegna il segmento DB
• Punto: segna sul segmento DB il punto

Prop.60: Il quadrato sulla retta binomiale applicato ad una retta razionale produce come larghezza una binomiale prima

Dimostrazione

Sia data una binomiale AB che risulti divisa nei suoi termini, dei quali AC sia il maggiore, secondo C e sia fissata una razionale DE, e a DE sia applicata DEFG così da produrre come larghezza DG: dico che AG è binomiale prima.

Si applichi a DE il rettangolo DH uguale al quadrato su AC, e KL uguale al quadrato su BC. Allora il restante, il doppio del rettangolo AC per CB, è uguale a MF. Si sechi MG a metà in N, e si tracci NO parallela a ML o GF. Allora ognuno dei rettangoli MO e NF è uguale a un solo rettangolo AC per CB.

E poiché AB è una binomiale divisa nei suoi termini in C, allora AC e CB sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-36). I quadrati su AC e CB sono quindi razionali e commensurabili tra loro, così che anche la somma dei quadrati su AC e CB è razionale. Ed è uguale a DL: DL è quindi razionale (Prop.10-15). Ed è applicata alla retta razionale DE, pertanto DM è razionale e commensurabile in lunghezza con DE (Prop.10-20).

Di nuovo, poiché AC e CB sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, allora il doppio del rettangolo AC per CB, cioè MF, è mediale (Prop.10-21). Ed è applicato alla retta razionale ML, pertanto anche MG è razionale e incommensurabile in lunghezza con ML, cioè, DE (Prop.10-22). Ma anche MD è razionale ed è commensurabile in lunghezza con DE, pertanto DM è incommensurabile in lunghezza con MG (Prop.10-13).

Ma esse sono razionali, pertanto DM e MG sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. DG è quindi binomiale (Prop.10-36).

Va ora dimostrato che è anche binomiale prima.

Poiché il rettangolo AC per CB è medio proporzionale tra i quadrati su AC e CB, allora anche MO è medio proporzionale tra DH e KL (Prop.10-54-Lemma). DH sta quindi a MO come MO sta a KL, cioè DK sta a MN come MN sta a MK. ll rettangolo DK per KM è quindi uguale al quadrato su MN (Prop.6-17).

Poiché il quadrato su AC è commensurabile con il quadrato su CB, allora anche DH è commensurabile con KL, così che anche DK è commensurabile con KM (Prop.10-11). Poiché la somma dei quadrati su AC e CB è maggiore del doppio del rettangolo AC per CB, allora anche DL è maggiore di MF, così che anche DM è maggiore di MG (Lemma).

Ma il rettangolo DK per KM è uguale al quadrato su MN, cioè, alla quarta parte del quadrato su MG, e DK è commensurabile con KM. Ma, se vi sono due rette disuguali, e alla maggiore è applicato un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore e che fa difetto per una figura piana, e se la divide in due parti commensurabili, allora il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta commensurabile con la maggiore (Prop.10-17). Il quadrato su DM è quindi maggiore del quadrato su MG per il quadrato su una retta commensurabile con DM.

Ma DM e MG sono razionali, e DM, che è il termine maggiore, è commensurabile in lunghezza con la retta razionale DE fissata. DG è quindi una binomiale prima.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB e su di esso il punto C e il segmento DE
• Perpendicolare: disegna le perpendicolari da D e E al lato DE
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EH = ACxAC/DE
• Perpendicolare: completa il rettangolo DH
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BCxBC/DE
• Perpendicolare: completa il rettangolo KL
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento MG = 2ACxCB/DE
• Perpendicolare: completa il rettangolo MF
• Punto Medio: traccia il punto medio, N, di MG
• Parallela: disegna il segmento NO parallelo a ML