LIBRO X - Terza Parte
Prop.85: Trovare una apotome prima
Dimostrazione
Sia fissata una retta razionale A, e sia BG commensurabile in lunghezza con A. Anche BG è quindi razionale.
E siano fissati due numeri quadrati DE, EF, e sia la loro differenza FD non quadrato. Allora neanche ED rispetto a DF ha il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. E sia fatto che ED sta a DF come il quadrato su BG sta al quadrato su GC. Allora il quadrato su BG è commensurabile con il quadrato su GC (Prop.10-6).
Ma il quadrato su BG è razionale, anche il quadrato su GC è quindi razionale. Anche GC è allora razionale. Poiché ED non ha con DF il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora nemmeno il quadrato su BG ha con il quadrato su GC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. BG è quindi incommensurabile in lunghezza con GC (Prop.10-9).
Ed entrambi sono razionali, pertanto BG e GC sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. BC è quindi una apotome (Prop.10-73).
Dico ora che è anche una apotome prima.
Sia il quadrato su H quello per il quale il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC. E poiché ED sta a FD come il quadrato su BG sta al quadrato su GC, allora, convertendo, come DE sta a EF anche il quadrato su GB sta al quadrato su H (Prop.5-19-Cor). Ma DE ha con EF il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, uno e l'altro è infatti quadrato, allora anche il quadrato su GB ha con il quadrato su H il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. BG è quindi commensurabile in lunghezza con H (Prop.10-9).
E il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC per il quadrato su H, pertanto il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con BG. E la BG totale è quella commensurabile in lunghezza con la razionale A fissata. BC è quindi una apotome prima.
Risulta quindi trovata una apotome prima BC.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, BG
- Segmento: disegna i segmenti EF, ED (in rosso ad indicare che sono numeri)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GC = sqrt(DFxBGxBG/ED)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento H = sqrt(BGxBG-GCxGC)