LIBRO X - Terza Parte
Prop.86: Trovare una apotome seconda
Dimostrazione
Sia fissata una retta razionale A, e sia GC commensurabile in lunghezza con A. E siano fissati due numeri quadrati DE, EF, e sia la loro differenza FD non quadrato. E sia fatto che FD sta a DE come il quadrato su CG sta al quadrato su GB. Allora il quadrato su CG è commensurabile con il quadrato su GB (Prop.10-6-Cor).
Ma il quadrato su CG è razionale, anche il quadrato su GB è quindi razionale. BG è pertanto razionale. Poiché il quadrato su GC non ha con il quadrato su GB il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora CG è incommensurabile in lunghezza con GB (Prop.10-9).
Ed entrambi sono razionali, pertanto CG e GB sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. BC è quindi una apotome (Prop.10-73).
Dico ora che è anche una apotome seconda.
Sia il quadrato su H quello per il quale il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC. E poiché il quadrato su BG sta al quadrato su GC come DE sta a EF, allora, convertendo, il quadrato su GB sta al quadrato su H come DE sta a EF (Prop.5-19-Cor). E uno e l'altro dei numeri DE, EF è quadrato, allora il quadrato su GB ha con il quadrato su H il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. BG è quindi commensurabile in lunghezza con H (Prop.10-9).
E il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC per il quadrato su H, pertanto il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con BG. E CG adattata è commensurabile con la razionale A fissata. BC è quindi una apotome seconda.
Risulta quindi trovata una apotome seconda BC.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, CG
- Segmento: disegna i segmenti EF, ED (in rosso ad indicare che sono numeri)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento BG = sqrt(DExCGxCG/FD)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento H = sqrt(BGxBG-GCxGC)