LIBRO X - Terza Parte
Prop.87: Trovare una apotome terza
Dimostrazione
Sia fissata una retta razionale A, e siano fissati tre numeri quadrati E, BC, CD che tra loro non hanno il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, ma CB abbia con BD il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. E sia fatto che E sta a BC come il quadrato su A sta al quadrato su FG e BC sta a CD come il quadrato su FG sta al quadrato su GH (Prop.10-6-Cor).
Poiché E sta a BC come il quadrato su A sta al quadrato su FG, allora il quadrato su A è commensurabile con il quadrato su FG (Prop.10-6). Ma il quadrato su A è razionale, pertanto anche il quadrato su FG è razionale, FG è quindi razionale.
Poiché E non ha con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora nemmeno il quadrato su A ha con il quadrato su FG il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. Pertanto A è incommensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-9).
Di nuovo, poiché BC sta a CD come il quadrato su FG sta al quadrato su GH, allora il quadrato su FG è commensurabile con il quadrato su GH (Prop.10-6). Ma il quadrato su FG è razionale, pertanto anche il quadrato su GH è razionale; GH è quindi razionale.
Poiché BC non ha con CD il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora nemmeno il quadrato su FG ha con il quadrato su GH il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. FG è quindi incommensurabile in lunghezza con GH (Prop.10-9).
E il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC per il quadrato su H, pertanto il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con BG. E CG adattata è commensurabile con la razionale A fissata. BC è quindi una apotome seconda.
Ed entrambe sono razionali, pertanto FG e GH sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. FH è quindi una apotome (Prop.10-73).
Dico ora che è anche terza.
Poiché E sta a BC come il quadrato su A sta al quadrato su FG, e BC sta a CD come il quadrato su FG sta al quadrato su HG, allora, tramite uguale (Prop.5-22), E sta a CD come il quadrato su A sta al quadrato su HG. Ma E non ha con CD il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto nemmeno il quadrato su A ha con il quadrato su GH il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. A è quindi incommensurabile in lunghezza con GH (Prop.10-9).
Né l'una né l'altra delle rette FG e GH è quindi commensurabile in lunghezza con la retta razionale A fissata.
Sia ora il quadrato su K quello per cui il quadrato su FG è maggiore del quadrato su GH. Poiché BC sta a CD come il quadrato su FG sta al quadrato su GH, allora, convertendo, BC sta a BD come il quadrato su FG sta a al quadrato su K (Prop.5-19-Cor).
Ma BC ha con BD il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto anche il quadrato su FG ha con il quadrato su K il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. FG è quindi commensurabile in lunghezza con K, e il quadrato su FG è maggiore del quadrato su GH per il quadrato su una retta commensurabile con FG (Prop.10-9).
E né l'una né l'altra delle rette FG e GH è commensurabile in lunghezza con la retta razionale A fissata, FH è quindi uba apotome terza.
Risulta quindi trovata una apotome terza FH.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento A
- Segmento: disegna i segmenti E, BC, CD (in rosso ad indicare che sono numeri)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FG = sqrt(BCxAxA/E)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GH = sqrt(CDxFGxFG/BC)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento K = sqrt(FGxFG-GHxGH)