LIBRO X - Terza Parte
Prop.88: Trovare una apotome quarta
Dimostrazione
Sia fissata una retta razionale A, e sia BG commensurabile in lunghezza con A. Anche BG è quindi razionale. Siano fissati due numeri DF, FE tali che DE totale abbia con nessuno dei due numeri il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. E sia fatto che DE sta a EF come il quadrato su BG sta al quadrato su CG. Allora il quadrato su BG è commensurabile con il quadrato su GC (Prop.10-6-Cor).
Ma il quadrato su BG è razionale, pertanto anche il quadrato su GC è razionale. GC è quindi razionale.
E poiché DE non ha con EF il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora nemmeno il quadrato su BG ha con il quadrato su GC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. BG è quindi incommensurabile in lunghezza con GC (Prop.10-9).
Ma entrambe sono razionali, pertanto BG e GC sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. BC è quindi una apotome (Prop.10-73).
Dico ora che è anche quarta.
Sia ora il quadrato su H quello per il quale il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC. Poiché DE sta a EF come il quadrato su BG sta al quadrato su GC, allora, convertendon (Prop.5-19-Cor), ED sta a DF come il quadrato su GB sta al quadrato su H.
Ma ED non ha con DF il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto nemmeno il quadrato su GB ha con il quadrato su H il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. BG è quindi incommensurabile in lunghezza con H (Prop.10-9).
E il quadrato su BG è maggiore del quadraro su GC per il quadrato su H, pertanto il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC per il quadrato su una retta incommensurabile con BG. E BG totale è commensurabile in lunghezza con la retta razionale A fissata. BC è quindi uan apotome quarta.
Risulta quindi trovata una apotome quarta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento A, BG
- Segmento: disegna i segmenti DF, FE (in rosso ad indicare che sono numeri)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CG = sqrt(EFxBGxBG/DE)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento H = sqrt(BGxBG-GCxGC)