LIBRO X - Terza Parte
Prop.89: Trovare una apotome quinta
Dimostrazione
Sia fissata una retta razionale A, e sia CG commensurabile in lunghezza con A. Anche CG è quindi razionale. Siano fissati due numeri DF, FE tali che DE di nuovo non abbia con nessuno dei due numeri il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. E sia fatto che FE sta a ED come il quadrato su CG sta al quadrato su GB. Allora il quadrato su BG è razionale. Anche BG è quindi razionale (Prop.10-6).
E poiché DE sta a EF come il quadrato su BG sta al quadrato su GC, mentre DE non ha con EF il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora nemmeno il quadrato su BG avrà con il quadrato su GC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. BG è quindi incommensurabile in lunghezza con GC (Prop.10-9).
Ma entrambe sono razionali, pertanto BG e GC sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. BC è quindi una apotome (Prop.10-73).
Dico anche che è quinta.
Sia il quadrato su H quello per cui il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC. Poiché il quadrato su BG sta al quadrato su GC come DE sta a EF, allora, convertendo (Prop.5-19-Cor), ED sta a DF come il quadrato su BG sta al quadrato su H.
Ma ED non ha con DF il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto nemmeno il quadrato su BG avrà con il quadrato su H il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. BG è quindi incommensurabile in lunghezza con H (Prop.10-9).
E il quadrato su BG è maggiore del quadrato su GC per il quadrato su H, pertanto il quadrato su GB è maggiore del quadrato su GC per il quadrato su una retta incommensurabile in lunghezza con GB. E quella che si adatta CG è commensurabile in lunghezza con la retta razionale A fissata, pertanto BC è una apotome quinta.
Risulta quindi trovata una apotome quinta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento A, CG
- Segmento: disegna i segmenti DF, FE (in rosso ad indicare che sono numeri)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento BG = sqrt(DExGCxGC/EF)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento H = sqrt(BGxBGxDF/ED)