Elementi di Euclide

Prop.90: Trovare una apotome sesta

Dimostrazione

Sia fissata una retta razionale A e tre numeri E, BC, CD che tra loro non hanno il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. Sia ancora che CB con BD non abbia il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. E sia fatto che E sta a BC come il quadrato su A sta al quadrato su FG e BC sta a CD come il quadrato su FG sta al quadrato su GH (Prop.10-6-Cor).

E poiché dunque E sta a BC come il quadrato su A sta al quadrato su FG, allora il quadrato su A è commensurabile con il quadrato su FG (Prop-10-6). Ma il quadrato su A è razionale, anche il quadrato su FG è quindi razionale. Anche FG è quindi razionale.

Poiché E non ha con BC il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora nemmeno il quadrato su A avrà con il quadrato su FG il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; A è quindi incommensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-9).

Di nuovo, poiché BC sta a CD come il quadrato su FG sta al quadrato su GH, allora il quadrato su FG è commensurabile con il quadrato su GH (Prop-10-6). Ma il quadrato su FG è razionale, anche il quadrato su GH è quindi razionale. Anche GH è quindi razionale.

Poiché BC non ha con CD il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora nemmeno il quadrato su FG avrà con il quadrato su GH il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. FG è quindi incommensurabile in lunghezza con GH (Prop.10-9).

Ma entrambe sono razionali, pertanto FG e GH sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. FH è quindi una apotome (Prop.10-73).

Dico anche che è sesta.

Poiché E sta a BC come il quadrato su A sta al quadrato su FG, e BC sta a CD come il quadrato su FG sta al quadrato su GH, allora, tramite uguale (Prop.5-22), E sta a CD come il quadrato su A sta al quadrato su GH. Ma E non ha con CD il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora nemmeno il quadrato su A avrà con il quadrato su GH il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. A è quindi incommensurabile in lunghezza con GH. Nè l'una né l'altra delle due rette FG e GH è quindi commensurabile in lunghezza con la razionale A (Prop.10-9).

Sia ora il quadrato su K quello per cui il quadrato su FG è maggiore del quadrato su GH. Poiché BC sta a CD come il quadrato su FG sta al quadrato su GH, allora, convertendo (Prop.5-19-Cor), CB sta a BD come il quadrato su FG sta al quadrato su K.

Ma CB non ha con BD il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora nemmeno il quadrato su FG avrà con il quadrato su K il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, FG è quindi incommensurabile in lunghezza con K (Prop.10-9).

E il quadrato su FG è maggiore del quadrato su GH per il quadrato su K, pertanto il quadrato su FG è maggiore del quadrato su GH per il quadrato su una retta incommensurabile in lunghezza con FG. E nessuna delle rette FG e GH è commensurabile con la retta razionale A fissata. FH è quindi una apotome sesta.

Risulta quindi trovata una apotome sesta FH.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento A
• Segmento: disegna i segmenti E, BC, CD (in rosso ad indicare che sono numeri)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FG = sqrt(AxAxBC/E)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GH = sqrt(CDxFGxFG/BC)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento K = sqrt(FGxFG-GHxGH)