LIBRO X - Terza Parte
Prop.91: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una apotome prima, allora il lato dell'area è una apotome
Dimostrazione
Sia l'area AB compresa dalla retta razionale AC e dall'apotome prima AD: dico che il lato dell'area AB è una apotome.
Poiché AD è una apotome prima, sia DG quella che si adatta ad essa, pertanto AG e GD sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-73). E AG totale è commensurabile con la retta razionale AC fissata, e il quadrato su AG è maggiore del quadrato su GD per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con AG.
Se, quindi, è applicato ad AG un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato su DG e facente difetto per una figura quadrata, allora la divide in segmenti commensurabili (Prop.10-17). Si sechi DG a metà in E, e si applichi ad AG un parallelogrammo uguale al quadrato su EG e facente difetto per una figura quadrata, e sia questa il rettangolo AF per FG. Allora AF è commensurabile con FG.
Si traccino EH, FI, GK parallele ad AC passanti per i punti E, F, G. E poiché AF è commensurabile in lunghezza con FG, allora anche AG è commensurabile in lunghezza con ognuna delle rette AF e FG (Prop.10-15). Ma AG è commensurabile con AC, pertanto ognuna delle AF e FG è commensurabile in lunghezza con AC (Prop.10-12).
Ma AC è razionale, pertanto anche ognuna delle rette AF e FG è razionale, così che anche ognuno dei rettangoli AI e FK è razionale (Prop.10-19). E poiché DE è commensurabile in lunghezza con EG, allora anche DG è commensurabile in lunghezza con ognuna delle DE, EG (Prop.10-15).
Ma DG è razionale e incommensurabile in lunghezza con AC, pertanto anche ognuna delle rette DE, EG è razionale e incommensurabile in lunghezza con AC (Prop.10-13). Ognuno dei rettangoli DH e EK è quindi mediale (Prop.10-21). Si ponga il quadrato LM uguale ad AI, e si sottragga il quadrato NO, uguale a FK, avente un angolo comune con esso, l'angolo LPM. I quadrati LM, NO sono quindi intorno alla stessa diagonale (Prop.6-26).
Sia PR la loro diagonale, e si completi la figura.
Poiché il rettangolo AF per FG è uguale al quadrato su EG, allora AF sta a EG come EG sta a FG (Prop.6-17). Ma AF sta a EG come AI sta a EK, e EG sta a FG come EK sta a KF, pertanto EK è un medio proporzionale tra AI e KF (Prop.6-11).
Ma è stato dimostrato nei teorimi precedenti che anche MN è medio proporzionale tra LM e NO, e che AI è uguale al quadrato su LM, e KF è uguale a NO, anche MN è quindi uguale a EK (Prop.10-54-Lemma). Ma EK è uguale a DH, e MN è uguale a LO, pertanto DK è uguale allo gnomone UVW e a NO.
Ma AK è uguale anche alla somma dei quadrati LM e NO, AB restante è quindi uguale a ST. Ma ST è il quadrato su LN, pertanto il quadrato su LN è uguale a AB. LN è quindi il lato su AB.
Dico ora che LN è una apotome.
Poiché ognuno dei rettangoli AI e FK è razionale, ed essi sono uguali a LM e NO, allora ognuno dei quadrati LM e NO, cioè, i quadrati su LP e PN rispettivamente, è pure razionale. Anche ognuna delle rette LP e PN è quindi razionale.
Di nuovo, poiché DH è mediale ed uguale a LO, allora anche LO è mediale. Poiché, quindi, LO è mediale, mentre NO è razionale, allora LO è incommensurabile con NO. Ma LO sta a NO come LP sta a PN, pertanto LP è incommensurabile in lunghezza con PN (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali; LP e PN sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza. LN è quindi una apotome (Prop.10-73).
Ed è il lato dell'area AB, pertanto il lato dell'area AB è una apotome.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AD e DG adiacenti
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a AD passante per A e su di essa traccia il segmento AC
- Perpendicolare: completa il rettangolo AB
- Punto Medio: segna il punto medio, E, di DG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GF = (AG-sqrt(AGxAG-4xAG*AC+DGxDG)
- Perpendicolare: traccia le perpendicolari ad AG passanti per E e F
- Parallela: disegna la parallela a AG passante per un punto L
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato LP = sqrt(AFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato LM
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato NP = sqrt(GFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato NO
- Segmento: disegna i segmenti NT, SO
- Angolo: disegna l'angolo concavo UVW